Номер 8.42, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.4*. Арккотангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.42, страница 249.

8.42 Постройте угол:

a) $\operatorname{arcctg} 1;$

б) $\operatorname{arcctg} 2;$

в) $\operatorname{arcctg} 3;$

г) $\operatorname{arcctg} (-1);$

д) $\operatorname{arcctg} (-2);$

е) $\operatorname{arcctg} (-3);$

ж) $\operatorname{arcctg} \frac{1}{3};$

з) $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{1}{3}\right);$

и) $\operatorname{arcctg} \frac{1}{2}.$

а) arcctg 1;

Пусть искомый угол равен $α$, то есть $α = \text{arcctg } 1$. По определению арккотангенса, это означает, что $\text{ctg } α = 1$ и угол $α$ находится в интервале $(0; π)$. Для построения угла воспользуемся прямоугольной системой координат. Поместим вершину угла в начало координат $O(0, 0)$, а одну из его сторон — на положительную часть оси абсцисс $Ox$. Вторая сторона угла будет образована лучом $OP$, где для точки $P(x, y)$ на этом луче выполняется соотношение $\text{ctg } α = x/y$. Нам нужно, чтобы $x/y = 1$. Мы можем выбрать $x=1$ и $y=1$. Таким образом, вторая сторона угла проходит через точку $P(1, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(1, 1)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым углом. (Этот угол равен $π/4$ или $45°$).
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(1, 1)$.

б) arcctg 2;

Пусть $α = \text{arcctg } 2$. По определению, $\text{ctg } α = 2$ и $0 < α < π$. Поскольку котангенс положителен, угол находится в первой четверти. В прямоугольной системе координат ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = 2$. Выберем $y=1$, тогда $x=2$. Точка для построения — $P(2, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(2, 1)$, отложив 2 единицы по оси $Ox$ и 1 единицу по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(2, 1)$.

в) arcctg 3;

Пусть $α = \text{arcctg } 3$. По определению, $\text{ctg } α = 3$ и $0 < α < π$. Угол находится в первой четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = 3$. Выберем $y=1$, тогда $x=3$. Точка для построения — $P(3, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(3, 1)$, отложив 3 единицы по оси $Ox$ и 1 единицу по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(3, 1)$.

г) arcctg (–1);

Пусть $α = \text{arcctg }(-1)$. По определению, $\text{ctg } α = -1$ и $0 < α < π$. Поскольку котангенс отрицателен, угол находится во второй четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = -1$. Выберем $y=1$ (ордината должна быть положительной для второй четверти), тогда $x=-1$. Точка для построения — $P(-1, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(-1, 1)$, отложив 1 единицу влево по оси $Ox$ и 1 единицу вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ (отсчитываемый против часовой стрелки) является искомым углом. (Этот угол равен $3π/4$ или $135°$).
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(-1, 1)$.

д) arcctg (–2);

Пусть $α = \text{arcctg }(-2)$. По определению, $\text{ctg } α = -2$ и $0 < α < π$. Угол находится во второй четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = -2$. Выберем $y=1$, тогда $x=-2$. Точка для построения — $P(-2, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(-2, 1)$, отложив 2 единицы влево по оси $Ox$ и 1 единицу вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(-2, 1)$.

е) arcctg (–3);

Пусть $α = \text{arcctg }(-3)$. По определению, $\text{ctg } α = -3$ и $0 < α < π$. Угол находится во второй четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = -3$. Выберем $y=1$, тогда $x=-3$. Точка для построения — $P(-3, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(-3, 1)$, отложив 3 единицы влево по оси $Ox$ и 1 единицу вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(-3, 1)$.

ж) arcctg $ \frac{1}{3} $;

Пусть $α = \text{arcctg }(1/3)$. По определению, $\text{ctg } α = 1/3$ и $0 < α < π$. Угол находится в первой четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = 1/3$. Для удобства построения выберем целочисленные координаты: $x=1$, $y=3$. Точка для построения — $P(1, 3)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(1, 3)$, отложив 1 единицу вправо по оси $Ox$ и 3 единицы вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(1, 3)$.

з) arcctg ($-\frac{1}{3}$);

Пусть $α = \text{arcctg }(-1/3)$. По определению, $\text{ctg } α = -1/3$ и $0 < α < π$. Угол находится во второй четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = -1/3$. Выберем $y=3$, тогда $x=-1$. Точка для построения — $P(-1, 3)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(-1, 3)$, отложив 1 единицу влево по оси $Ox$ и 3 единицы вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(-1, 3)$.

и) arcctg $ \frac{1}{2} $.

Пусть $α = \text{arcctg }(1/2)$. По определению, $\text{ctg } α = 1/2$ и $0 < α < π$. Угол находится в первой четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = 1/2$. Для удобства построения выберем $x=1$, $y=2$. Точка для построения — $P(1, 2)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(1, 2)$, отложив 1 единицу вправо по оси $Ox$ и 2 единицы вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(1, 2)$.