Страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.40 а) $\operatorname{arcctg} 0$;

б) $\operatorname{arcctg} 1$;

в) $\operatorname{arcctg} (-1)$;

г) $\operatorname{arcctg} \sqrt{3}$;

д) $\operatorname{arcctg} (-\sqrt{3})$;

е) $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3}$;

ж) $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

а) По определению, арккотангенс числа $a$ (обозначается $\text{arcctg } a$) – это такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, что его котангенс равен $a$. В данном случае, нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = 0$.

Функция котангенса, определяемая как $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, равна нулю, когда числитель $\cos \alpha = 0$, а знаменатель $\sin \alpha \neq 0$.

В интервале $(0, \pi)$ косинус равен нулю при $\alpha = \frac{\pi}{2}$. При этом значении $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, что не равно нулю. Следовательно, искомый угол существует и равен $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = 1$.

Это является табличным значением для тригонометрических функций. Котангенс равен 1 для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Поскольку значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то $\text{arcctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = -1$.

Для нахождения арккотангенса отрицательного числа используется свойство: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.

Применим это свойство к нашему случаю: $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.

Из предыдущего пункта известно, что $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Тогда $\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, и его котангенс действительно равен $-1$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

г) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = \sqrt{3}$.

Это табличное значение. Угол, котангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Так как $\frac{\pi}{6}$ находится в интервале $(0, \pi)$, то $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

д) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = -\sqrt{3}$.

Воспользуемся свойством $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.

$\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3})$.

Из пункта г) мы знаем, что $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, и его котангенс равен $-\sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

е) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ можно представить как $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Это табличное значение для котангенса.

Угол, котангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, это $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Поскольку $\frac{\pi}{3}$ находится в интервале $(0, \pi)$, то $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

ж) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Снова используем свойство $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.

$\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Из пункта е) известно, что $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Угол $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, и его котангенс равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

8.41 Сравните с числом $0,5\pi$:

а) $\operatorname{arcctg} 1$;

б) $\operatorname{arcctg} 2$;

в) $\operatorname{arcctg} 3$;

г) $\operatorname{arcctg} (-1)$;

д) $\operatorname{arcctg} (-2)$;

е) $\operatorname{arcctg} (-3)$;

ж) $\operatorname{arcctg} \frac{\pi}{3}$;

з) $\operatorname{arcctg} \pi$;

и) $\operatorname{arcctg} (-\pi)$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся свойствами функции арккотангенс $y = \text{arcctg } x$.

1. Область значений функции $\text{arcctg } x$ — это интервал $(0; \pi)$.

2. Функция $\text{arcctg } x$ является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

3. Нам нужно сравнить значения функции с числом $0,5\pi$, то есть с $\frac{\pi}{2}$. Найдем, при каком значении аргумента арккотангенс равен $\frac{\pi}{2}$: $\text{arcctg } x = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow x = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Таким образом, задача сводится к сравнению $\text{arcctg } a$ с $\text{arcctg } 0$. Из свойства убывания функции следует:

• Если $a > 0$, то $\text{arcctg } a < \text{arcctg } 0$, то есть $\text{arcctg } a < 0,5\pi$.
• Если $a < 0$, то $\text{arcctg } a > \text{arcctg } 0$, то есть $\text{arcctg } a > 0,5\pi$.

Применим это правило к каждому пункту.

а) Сравнить $\text{arcctg } 1$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = 1$. Так как $1 > 0$, то на основании общего правила $\text{arcctg } 1 < 0,5\pi$.

Для проверки можно использовать известное значение: $\text{arcctg } 1 = \frac{\pi}{4}$. Сравнивая $\frac{\pi}{4}$ и $0,5\pi = \frac{\pi}{2}$, получаем $\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\text{arcctg } 1 < 0,5\pi$.

б) Сравнить $\text{arcctg } 2$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = 2$. Так как $2 > 0$, то $\text{arcctg } 2 < 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } 2 < 0,5\pi$.

в) Сравнить $\text{arcctg } 3$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = 3$. Так как $3 > 0$, то $\text{arcctg } 3 < 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } 3 < 0,5\pi$.

г) Сравнить $\text{arcctg } (-1)$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = -1$. Так как $-1 < 0$, то на основании общего правила $\text{arcctg } (-1) > 0,5\pi$.

Для проверки можно использовать известное значение: $\text{arcctg } (-1) = \pi - \text{arcctg } 1 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Сравнивая $\frac{3\pi}{4}$ и $0,5\pi = \frac{2\pi}{4}$, получаем $\frac{3\pi}{4} > \frac{2\pi}{4}$.

Ответ: $\text{arcctg } (-1) > 0,5\pi$.

д) Сравнить $\text{arcctg } (-2)$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = -2$. Так как $-2 < 0$, то $\text{arcctg } (-2) > 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } (-2) > 0,5\pi$.

е) Сравнить $\text{arcctg } (-3)$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = -3$. Так как $-3 < 0$, то $\text{arcctg } (-3) > 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } (-3) > 0,5\pi$.

ж) Сравнить $\text{arcctg } \frac{\pi}{3}$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = \frac{\pi}{3}$. Поскольку $\pi \approx 3,14159$, то $x = \frac{\pi}{3} > 0$.

Следовательно, $\text{arcctg } \frac{\pi}{3} < 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } \frac{\pi}{3} < 0,5\pi$.

з) Сравнить $\text{arcctg } \pi$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = \pi$. Так как $\pi > 0$, то $\text{arcctg } \pi < 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } \pi < 0,5\pi$.

и) Сравнить $\text{arcctg } (-\pi)$ с $0,5\pi$.

Аргумент $x = -\pi$. Так как $-\pi < 0$, то $\text{arcctg } (-\pi) > 0,5\pi$.

Ответ: $\text{arcctg } (-\pi) > 0,5\pi$.

8.42 Постройте угол:

a) $\operatorname{arcctg} 1;$

б) $\operatorname{arcctg} 2;$

в) $\operatorname{arcctg} 3;$

г) $\operatorname{arcctg} (-1);$

д) $\operatorname{arcctg} (-2);$

е) $\operatorname{arcctg} (-3);$

ж) $\operatorname{arcctg} \frac{1}{3};$

з) $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{1}{3}\right);$

и) $\operatorname{arcctg} \frac{1}{2}.$

а) arcctg 1;

Пусть искомый угол равен $α$, то есть $α = \text{arcctg } 1$. По определению арккотангенса, это означает, что $\text{ctg } α = 1$ и угол $α$ находится в интервале $(0; π)$. Для построения угла воспользуемся прямоугольной системой координат. Поместим вершину угла в начало координат $O(0, 0)$, а одну из его сторон — на положительную часть оси абсцисс $Ox$. Вторая сторона угла будет образована лучом $OP$, где для точки $P(x, y)$ на этом луче выполняется соотношение $\text{ctg } α = x/y$. Нам нужно, чтобы $x/y = 1$. Мы можем выбрать $x=1$ и $y=1$. Таким образом, вторая сторона угла проходит через точку $P(1, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(1, 1)$. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым углом. (Этот угол равен $π/4$ или $45°$).
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(1, 1)$.

б) arcctg 2;

Пусть $α = \text{arcctg } 2$. По определению, $\text{ctg } α = 2$ и $0 < α < π$. Поскольку котангенс положителен, угол находится в первой четверти. В прямоугольной системе координат ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = 2$. Выберем $y=1$, тогда $x=2$. Точка для построения — $P(2, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(2, 1)$, отложив 2 единицы по оси $Ox$ и 1 единицу по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(2, 1)$.

в) arcctg 3;

Пусть $α = \text{arcctg } 3$. По определению, $\text{ctg } α = 3$ и $0 < α < π$. Угол находится в первой четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = 3$. Выберем $y=1$, тогда $x=3$. Точка для построения — $P(3, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(3, 1)$, отложив 3 единицы по оси $Ox$ и 1 единицу по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(3, 1)$.

г) arcctg (–1);

Пусть $α = \text{arcctg }(-1)$. По определению, $\text{ctg } α = -1$ и $0 < α < π$. Поскольку котангенс отрицателен, угол находится во второй четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = -1$. Выберем $y=1$ (ордината должна быть положительной для второй четверти), тогда $x=-1$. Точка для построения — $P(-1, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(-1, 1)$, отложив 1 единицу влево по оси $Ox$ и 1 единицу вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ (отсчитываемый против часовой стрелки) является искомым углом. (Этот угол равен $3π/4$ или $135°$).
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(-1, 1)$.

д) arcctg (–2);

Пусть $α = \text{arcctg }(-2)$. По определению, $\text{ctg } α = -2$ и $0 < α < π$. Угол находится во второй четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = -2$. Выберем $y=1$, тогда $x=-2$. Точка для построения — $P(-2, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(-2, 1)$, отложив 2 единицы влево по оси $Ox$ и 1 единицу вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(-2, 1)$.

е) arcctg (–3);

Пусть $α = \text{arcctg }(-3)$. По определению, $\text{ctg } α = -3$ и $0 < α < π$. Угол находится во второй четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = -3$. Выберем $y=1$, тогда $x=-3$. Точка для построения — $P(-3, 1)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(-3, 1)$, отложив 3 единицы влево по оси $Ox$ и 1 единицу вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(-3, 1)$.

ж) arcctg $ \frac{1}{3} $;

Пусть $α = \text{arcctg }(1/3)$. По определению, $\text{ctg } α = 1/3$ и $0 < α < π$. Угол находится в первой четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = 1/3$. Для удобства построения выберем целочисленные координаты: $x=1$, $y=3$. Точка для построения — $P(1, 3)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(1, 3)$, отложив 1 единицу вправо по оси $Ox$ и 3 единицы вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(1, 3)$.

з) arcctg ($-\frac{1}{3}$);

Пусть $α = \text{arcctg }(-1/3)$. По определению, $\text{ctg } α = -1/3$ и $0 < α < π$. Угол находится во второй четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = -1/3$. Выберем $y=3$, тогда $x=-1$. Точка для построения — $P(-1, 3)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(-1, 3)$, отложив 1 единицу влево по оси $Ox$ и 3 единицы вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(-1, 3)$.

и) arcctg $ \frac{1}{2} $.

Пусть $α = \text{arcctg }(1/2)$. По определению, $\text{ctg } α = 1/2$ и $0 < α < π$. Угол находится в первой четверти. Ищем точку $P(x, y)$ такую, что $x/y = 1/2$. Для удобства построения выберем $x=1$, $y=2$. Точка для построения — $P(1, 2)$.
Построение: В прямоугольной системе координат строим точку $P(1, 2)$, отложив 1 единицу вправо по оси $Ox$ и 2 единицы вверх по оси $Oy$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом.
Ответ: Искомый угол — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом, проходящим через начало координат и точку $P(1, 2)$.

8.43 Найдите все углы $\alpha$, для каждого из которых:

а) $\ctg \alpha = 0$;

б) $\ctg \alpha = 1$;

в) $\ctg \alpha = -1$;

г) $\ctg \alpha = \sqrt{3}$;

д) $\ctg \alpha = -\sqrt{3}$;

е) $\ctg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

ж) $\ctg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

з) $\ctg \alpha = 2$;

и) $\ctg \alpha = -3$;

к) $\ctg \alpha = 4$;

л) $\ctg \alpha = \frac{1}{2}$;

м) $\ctg \alpha = -\frac{2}{3}$.

а) Общее решение уравнения $ctg\,\alpha = a$ дается формулой $\alpha = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Для уравнения $ctg\,\alpha = 0$, имеем $a=0$. Значение $arcctg(0)$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен нулю. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, общее решение имеет вид $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Для уравнения $ctg\,\alpha = 1$, имеем $a=1$. Значение $arcctg(1)$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Для уравнения $ctg\,\alpha = -1$, имеем $a=-1$. Для нахождения $arcctg(-1)$ используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Получаем $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Для уравнения $ctg\,\alpha = \sqrt{3}$, имеем $a=\sqrt{3}$. Значение $arcctg(\sqrt{3})$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Для уравнения $ctg\,\alpha = -\sqrt{3}$, имеем $a=-\sqrt{3}$. Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Получаем $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) Для уравнения $ctg\,\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, имеем $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение $arcctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) Для уравнения $ctg\,\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеем $a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Получаем $arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - arcctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Следовательно, общее решение: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з) Для уравнения $ctg\,\alpha = 2$, значение $a=2$ не является табличным для котангенса. Поэтому решение записывается с использованием функции арккотангенс. Общее решение: $\alpha = arcctg(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = arcctg(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и) Для уравнения $ctg\,\alpha = -3$, значение $a=-3$ не является табличным. Решение записывается с использованием функции арккотангенс. Общее решение: $\alpha = arcctg(-3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = arcctg(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) Для уравнения $ctg\,\alpha = 4$, значение $a=4$ не является табличным. Решение записывается с использованием функции арккотангенс. Общее решение: $\alpha = arcctg(4) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = arcctg(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л) Для уравнения $ctg\,\alpha = \frac{1}{2}$, значение $a=\frac{1}{2}$ не является табличным. Решение записывается с использованием функции арккотангенс. Общее решение: $\alpha = arcctg\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = arcctg\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м) Для уравнения $ctg\,\alpha = -\frac{2}{3}$, значение $a=-\frac{2}{3}$ не является табличным. Решение записывается с использованием функции арккотангенс. Общее решение: $\alpha = arcctg\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = arcctg\left(-\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.