Страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.25 а) $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha;$

б) $\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha};$

в) $\sin^2 \beta + \operatorname{tg}^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta};$

г) $\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha.$

а)

Дано выражение для упрощения: $ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \tg \alpha \ctg \alpha $.

Для упрощения дроби используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Из него следуют два равенства:

$ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $

$ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $

Для второго слагаемого используем тождество $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $.

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1 $

Выражение $ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $ по определению является квадратом котангенса: $ \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = \ctg^2 \alpha $.

Таким образом, мы получаем: $ \ctg^2 \alpha + 1 $.

Используем еще одно тригонометрическое тождество, которое является следствием из основного: $ 1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.

Ответ: $ \frac{1}{\sin^2 \alpha} $

б)

Рассмотрим выражение: $ \frac{\tg \alpha}{\tg \alpha \ctg \alpha + \tg^2 \alpha} $.

Сначала упростим знаменатель. Используя тождество $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $, получаем:

$ \tg \alpha \ctg \alpha + \tg^2 \alpha = 1 + \tg^2 \alpha $

Теперь все выражение имеет вид:

$ \frac{\tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha} $

Далее, используем тождество $ 1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $. Подставим его в знаменатель:

$ \frac{\tg \alpha}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \tg \alpha \cdot \cos^2 \alpha $

Наконец, заменим тангенс по определению $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:

$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha $

Ответ: $ \sin \alpha \cos \alpha $

в)

Упростим выражение: $ \sin^2 \beta + \tg^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta} $.

Сгруппируем второе и третье слагаемые: $ \sin^2 \beta + \left( \tg^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta} \right) $.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ 1 + \tg^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} $. Из него можно выразить разность в скобках:

$ \tg^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta} = -1 $

Подставим это значение обратно в выражение:

$ \sin^2 \beta + (-1) = \sin^2 \beta - 1 $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $, выразим $ \sin^2 \beta - 1 $:

$ \sin^2 \beta - 1 = -\cos^2 \beta $

Ответ: $ -\cos^2 \beta $

г)

Упростим выражение: $ \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \ctg^2 \alpha - \cos^2 \alpha $.

Сгруппируем первые два члена: $ \left( \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \ctg^2 \alpha \right) - \cos^2 \alpha $.

Используем тождество $ 1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $. Преобразуем его, чтобы найти значение выражения в скобках:

$ \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \ctg^2 \alpha = 1 $

Подставим полученное значение в выражение:

$ 1 - \cos^2 \alpha $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, следует, что:

$ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $

Ответ: $ \sin^2 \alpha $

8.26 Докажите справедливость равенства:

a) $\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = 2 (1 + \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha)$;

б) $\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = 2 (1 + \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha)$.

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)$.

$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{(1 - \cos \alpha)(1 - \sin \alpha) + (1 + \cos \alpha)(1 + \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}$

Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$

Теперь раскроем скобки и упростим числитель:

$(1 - \cos \alpha)(1 - \sin \alpha) + (1 + \cos \alpha)(1 + \sin \alpha) = $

$= (1 - \sin \alpha - \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) + (1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) = $

$= 1 - \sin \alpha - \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = 2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$\frac{2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{2}{\cos^2 \alpha} + \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2}{\cos^2 \alpha} + \frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha}$

Используя тождества $\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \text{tg}^2 \alpha$ и $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha$, получаем:

$2(1 + \text{tg}^2 \alpha) + 2 \text{tg} \alpha = 2 + 2 \text{tg}^2 \alpha + 2 \text{tg} \alpha = 2(1 + \text{tg} \alpha + \text{tg}^2 \alpha)$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: Равенство доказано.

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)$.

$\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{(1 - \sin \alpha)(1 - \cos \alpha) + (1 + \sin \alpha)(1 + \cos \alpha)}{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}$

Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$

Теперь раскроем скобки и упростим числитель (он совпадает с числителем из пункта а):

$(1 - \sin \alpha)(1 - \cos \alpha) + (1 + \sin \alpha)(1 + \cos \alpha) = $

$= (1 - \cos \alpha - \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) + (1 + \cos \alpha + \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) = 2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$\frac{2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{2}{\sin^2 \alpha} + \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2}{\sin^2 \alpha} + \frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha}$

Используя тождества $\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \text{ctg}^2 \alpha$ и $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha$, получаем:

$2(1 + \text{ctg}^2 \alpha) + 2 \text{ctg} \alpha = 2 + 2 \text{ctg}^2 \alpha + 2 \text{ctg} \alpha = 2(1 + \text{ctg} \alpha + \text{ctg}^2 \alpha)$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: Равенство доказано.

8.27 Вычислите:

а) $\text{tg} (-80^\circ) + \text{tg} (-70^\circ) + \text{tg} (-60^\circ) + \ldots + \text{tg} 60^\circ + \text{tg} 70^\circ + \text{tg} 80^\circ;$

б) $\text{ctg} (-90^\circ) + \text{ctg} (-70^\circ) + \text{ctg} (-50^\circ) + \ldots + \text{ctg} 50^\circ + \text{ctg} 70^\circ + \text{ctg} 90^\circ;$

в) $\text{tg} (-80^\circ) \text{tg} (-70^\circ) \text{tg} (-60^\circ) \cdot \ldots \cdot \text{tg} 60^\circ \text{tg} 70^\circ \text{tg} 80^\circ;$

г) $\text{ctg} 10^\circ \text{ctg} 20^\circ \text{ctg} 30^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg} 160^\circ \text{ctg} 170^\circ.$

а)

Рассмотрим выражение: $S = \text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(-70^\circ) + \text{tg}(-60^\circ) + \dots + \text{tg}(60^\circ) + \text{tg}(70^\circ) + \text{tg}(80^\circ)$.

Эта сумма представляет собой арифметическую прогрессию углов от $-80^\circ$ до $80^\circ$ с шагом $10^\circ$. Полный ряд слагаемых выглядит так:

$\text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(-70^\circ) + \dots + \text{tg}(-10^\circ) + \text{tg}(0^\circ) + \text{tg}(10^\circ) + \dots + \text{tg}(70^\circ) + \text{tg}(80^\circ)$.

Используем свойство нечетности тангенса: $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$.

Сгруппируем слагаемые с противоположными углами:

$S = (\text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(80^\circ)) + (\text{tg}(-70^\circ) + \text{tg}(70^\circ)) + \dots + (\text{tg}(-10^\circ) + \text{tg}(10^\circ)) + \text{tg}(0^\circ)$.

Каждая пара в скобках равна нулю, так как $\text{tg}(-x) + \text{tg}(x) = -\text{tg}(x) + \text{tg}(x) = 0$.

Например, $\text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(80^\circ) = -\text{tg}(80^\circ) + \text{tg}(80^\circ) = 0$.

Центральный член суммы - это $\text{tg}(0^\circ)$, который также равен нулю: $\text{tg}(0^\circ) = 0$.

Таким образом, вся сумма равна нулю.

Ответ: 0

б)

Рассмотрим выражение: $S = \text{ctg}(-90^\circ) + \text{ctg}(-70^\circ) + \text{ctg}(-50^\circ) + \dots + \text{ctg}(50^\circ) + \text{ctg}(70^\circ) + \text{ctg}(90^\circ)$.

Слагаемые представляют собой значения котангенса для углов, образующих арифметическую прогрессию от $-90^\circ$ до $90^\circ$ с шагом $20^\circ$.

Используем свойство нечетности котангенса: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.

Сгруппируем слагаемые с противоположными углами:

$S = (\text{ctg}(-90^\circ) + \text{ctg}(90^\circ)) + (\text{ctg}(-70^\circ) + \text{ctg}(70^\circ)) + (\text{ctg}(-50^\circ) + \text{ctg}(50^\circ)) + \dots$

Значения котангенса для $90^\circ$ и $-90^\circ$ равны нулю:

$\text{ctg}(90^\circ) = \frac{\cos(90^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{0}{1} = 0$.

$\text{ctg}(-90^\circ) = \frac{\cos(-90^\circ)}{\sin(-90^\circ)} = \frac{0}{-1} = 0$.

Следовательно, первая пара в сумме равна $0 + 0 = 0$.

Для всех остальных пар, $\text{ctg}(-x) + \text{ctg}(x) = -\text{ctg}(x) + \text{ctg}(x) = 0$.

Так как все слагаемые разбиваются на пары, дающие в сумме ноль, то вся сумма равна нулю.

Ответ: 0

в)

Рассмотрим произведение: $P = \text{tg}(-80^\circ) \cdot \text{tg}(-70^\circ) \cdot \text{tg}(-60^\circ) \cdot \dots \cdot \text{tg}(60^\circ) \cdot \text{tg}(70^\circ) \cdot \text{tg}(80^\circ)$.

Множители в этом произведении являются значениями тангенса для углов, образующих арифметическую прогрессию от $-80^\circ$ до $80^\circ$ с шагом $10^\circ$.

Эта последовательность углов включает угол $0^\circ$.

Один из множителей в произведении — это $\text{tg}(0^\circ)$.

Значение тангенса от нуля равно нулю: $\text{tg}(0^\circ) = 0$.

Все остальные множители в произведении (для углов от $-80^\circ$ до $80^\circ$, исключая $\pm 90^\circ$) являются определенными конечными числами.

Поскольку один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.

$P = \dots \cdot \text{tg}(-10^\circ) \cdot \text{tg}(0^\circ) \cdot \text{tg}(10^\circ) \cdot \dots = \dots \cdot \text{tg}(-10^\circ) \cdot 0 \cdot \text{tg}(10^\circ) \cdot \dots = 0$.

Ответ: 0

г)

Рассмотрим произведение: $P = \text{ctg}(10^\circ) \cdot \text{ctg}(20^\circ) \cdot \text{ctg}(30^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg}(160^\circ) \cdot \text{ctg}(170^\circ)$.

Множители в этом произведении являются значениями котангенса для углов, образующих арифметическую прогрессию от $10^\circ$ до $170^\circ$ с шагом $10^\circ$.

Последовательность углов: $10^\circ, 20^\circ, 30^\circ, \dots, 80^\circ, 90^\circ, 100^\circ, \dots, 170^\circ$.

Эта последовательность включает угол $90^\circ$.

Один из множителей в произведении — это $\text{ctg}(90^\circ)$.

Значение котангенса от $90^\circ$ равно нулю: $\text{ctg}(90^\circ) = \frac{\cos(90^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{0}{1} = 0$.

Все остальные множители в произведении (для углов от $10^\circ$ до $170^\circ$) являются определенными конечными числами, так как котангенс не определен только для углов, кратных $180^\circ$.

Поскольку один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.

$P = \text{ctg}(10^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg}(80^\circ) \cdot \text{ctg}(90^\circ) \cdot \text{ctg}(100^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg}(170^\circ) = \dots \cdot 0 \cdot \dots = 0$.

Ответ: 0

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$, для каждого из которых выполняется равенство, и задайте эти углы формулой (8.28–8.29):

8.28

a) $\text{tg}\ \alpha = 0$;

б) $\text{tg}\ \alpha = 1$;

в) $\text{tg}\ \alpha = -1$;

г) $\text{ctg}\ \alpha = 0$;

д) $\text{ctg}\ \alpha = 1$;

е) $\text{ctg}\ \alpha = -1$.

а) Решим уравнение $\tg \alpha = 0$.

Тангенс угла равен нулю, если синус этого угла равен нулю, а косинус не равен нулю. На единичной окружности это соответствует точкам, у которых ордината (координата y) равна 0. Таких точек две: (1, 0) и (-1, 0).

Точка (1, 0) соответствует углу $\alpha = 0$ (и всем углам вида $2k\pi$).

Точка (-1, 0) соответствует углу $\alpha = \pi$ (и всем углам вида $\pi + 2k\pi$).

Объединяя эти два семейства решений, получаем, что точки повторяются через полоборота, то есть через $\pi$. Таким образом, все углы можно задать одной формулой.

Ответ: $\alpha = k\pi, k \in \mathbb{Z}$

б) Решим уравнение $\tg \alpha = 1$.

Тангенс угла равен 1, если его синус равен косинусу ($\sin \alpha = \cos \alpha$). На единичной окружности это соответствует точкам, у которых абсцисса (x) и ордината (y) равны. Эти точки лежат на биссектрисе первого и третьего координатных углов (прямая $y=x$).

В первом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Её координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

В третьем квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$. Её координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Эти точки диаметрально противоположны, поэтому все решения можно описать одной формулой с периодом $\pi$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

в) Решим уравнение $\tg \alpha = -1$.

Тангенс угла равен -1, если его синус равен косинусу с противоположным знаком ($\sin \alpha = -\cos \alpha$). На единичной окружности это соответствует точкам, у которых абсцисса (x) и ордината (y) противоположны по знаку. Эти точки лежат на биссектрисе второго и четвертого координатных углов (прямая $y=-x$).

Во втором квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{3\pi}{4}$. Её координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

В четвертом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$). Её координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Эти точки диаметрально противоположны, поэтому все решения можно описать одной формулой с периодом $\pi$.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = \frac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$)

г) Решим уравнение $\ctg \alpha = 0$.

Котангенс угла равен нулю, если косинус этого угла равен нулю, а синус не равен нулю. На единичной окружности это соответствует точкам, у которых абсцисса (координата x) равна 0. Таких точек две: (0, 1) и (0, -1).

Точка (0, 1) соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

Точка (0, -1) соответствует углу $\alpha = \frac{3\pi}{2}$.

Эти точки диаметрально противоположны, и решения повторяются с периодом $\pi$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

д) Решим уравнение $\ctg \alpha = 1$.

Котангенс угла равен 1, если его косинус равен синусу ($\cos \alpha = \sin \alpha$). Это то же самое условие, что и для $\tg \alpha = 1$. Точки на единичной окружности лежат на прямой $y=x$.

В первом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

В третьем квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.

Эти точки диаметрально противоположны.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

е) Решим уравнение $\ctg \alpha = -1$.

Котангенс угла равен -1, если его косинус равен синусу с противоположным знаком ($\cos \alpha = -\sin \alpha$). Это то же самое условие, что и для $\tg \alpha = -1$. Точки на единичной окружности лежат на прямой $y=-x$.

Во втором квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

В четвертом квадранте это точка, соответствующая углу $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ (или $\frac{7\pi}{4}$).

Эти точки диаметрально противоположны.

Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (или $\alpha = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$)

8.29 а) $tg \alpha = \sqrt{3}$;

б) $tg \alpha = -\sqrt{3}$;

в) $tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $tg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

д) $ctg \alpha = \sqrt{3}$;

е) $ctg \alpha = -\sqrt{3}$;

ж) $ctg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

з) $ctg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а)

Решение уравнения вида $\tg \alpha = a$ находится по общей формуле $\alpha = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном уравнении $a = \sqrt{3}$.

Главное значение (арктангенс) для $\sqrt{3}$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Подставив это значение в общую формулу, получаем решение: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Общая формула для решения уравнения $\tg \alpha = a$ имеет вид $\alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -\sqrt{3}$.

Для нахождения главного значения воспользуемся свойством нечетности арктангенса: $\arctan(-x) = -\arctan(x)$.

$\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение уравнения: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решение уравнения $\tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ находим по формуле $\alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Главное значение $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$, так как $\tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Используем общую формулу $\alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используя свойство нечетности арктангенса, находим главное значение: $\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Общее решение: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д)

Решение уравнения вида $\ctg \alpha = a$ находится по общей формуле $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = \sqrt{3}$.

Главное значение $\operatorname{arccot}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$, так как $\ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (0; \pi)$.

Общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е)

Используем общую формулу для котангенса $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\sqrt{3}$.

Для нахождения главного значения используем свойство $\operatorname{arccot}(-x) = \pi - \operatorname{arccot}(x)$.

$\operatorname{arccot}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arccot}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Общее решение: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж)

Решение уравнения $\ctg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ находим по формуле $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Главное значение $\operatorname{arccot}(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{3} \in (0; \pi)$.

Общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з)

Используем общую формулу $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используя свойство $\operatorname{arccot}(-x) = \pi - \operatorname{arccot}(x)$, находим главное значение:

$\operatorname{arccot}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \operatorname{arccot}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Общее решение: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.