Номер 8.29, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.29, страница 243.
№8.29 (с. 243)
Условие. №8.29 (с. 243)
скриншот условия

8.29 а) $tg \alpha = \sqrt{3}$;
б) $tg \alpha = -\sqrt{3}$;
в) $tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
г) $tg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
д) $ctg \alpha = \sqrt{3}$;
е) $ctg \alpha = -\sqrt{3}$;
ж) $ctg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
з) $ctg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Решение 1. №8.29 (с. 243)








Решение 2. №8.29 (с. 243)

Решение 3. №8.29 (с. 243)

Решение 4. №8.29 (с. 243)

Решение 5. №8.29 (с. 243)
а)
Решение уравнения вида $\tg \alpha = a$ находится по общей формуле $\alpha = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном уравнении $a = \sqrt{3}$.
Главное значение (арктангенс) для $\sqrt{3}$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Подставив это значение в общую формулу, получаем решение: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б)
Общая формула для решения уравнения $\tg \alpha = a$ имеет вид $\alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -\sqrt{3}$.
Для нахождения главного значения воспользуемся свойством нечетности арктангенса: $\arctan(-x) = -\arctan(x)$.
$\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Следовательно, общее решение уравнения: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
в)
Решение уравнения $\tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ находим по формуле $\alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Главное значение $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$, так как $\tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
г)
Используем общую формулу $\alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используя свойство нечетности арктангенса, находим главное значение: $\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Общее решение: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
д)
Решение уравнения вида $\ctg \alpha = a$ находится по общей формуле $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = \sqrt{3}$.
Главное значение $\operatorname{arccot}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$, так как $\ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (0; \pi)$.
Общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
е)
Используем общую формулу для котангенса $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\sqrt{3}$.
Для нахождения главного значения используем свойство $\operatorname{arccot}(-x) = \pi - \operatorname{arccot}(x)$.
$\operatorname{arccot}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arccot}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Общее решение: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
ж)
Решение уравнения $\ctg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ находим по формуле $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Главное значение $\operatorname{arccot}(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{3} \in (0; \pi)$.
Общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
з)
Используем общую формулу $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используя свойство $\operatorname{arccot}(-x) = \pi - \operatorname{arccot}(x)$, находим главное значение:
$\operatorname{arccot}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \operatorname{arccot}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Общее решение: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 8.29 расположенного на странице 243 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.29 (с. 243), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.