Номер 8.29, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.2. Основные формулы для tgα и ctgα - номер 8.29, страница 243.

Условие.

8.29 а) $tg \alpha = \sqrt{3}$;

б) $tg \alpha = -\sqrt{3}$;

в) $tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $tg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

д) $ctg \alpha = \sqrt{3}$;

е) $ctg \alpha = -\sqrt{3}$;

ж) $ctg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

з) $ctg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Решение уравнения вида $\tg \alpha = a$ находится по общей формуле $\alpha = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном уравнении $a = \sqrt{3}$.

Главное значение (арктангенс) для $\sqrt{3}$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Подставив это значение в общую формулу, получаем решение: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Общая формула для решения уравнения $\tg \alpha = a$ имеет вид $\alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -\sqrt{3}$.

Для нахождения главного значения воспользуемся свойством нечетности арктангенса: $\arctan(-x) = -\arctan(x)$.

$\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение уравнения: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решение уравнения $\tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ находим по формуле $\alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Главное значение $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$, так как $\tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Используем общую формулу $\alpha = \arctan(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используя свойство нечетности арктангенса, находим главное значение: $\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Общее решение: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д)

Решение уравнения вида $\ctg \alpha = a$ находится по общей формуле $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = \sqrt{3}$.

Главное значение $\operatorname{arccot}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$, так как $\ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (0; \pi)$.

Общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е)

Используем общую формулу для котангенса $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\sqrt{3}$.

Для нахождения главного значения используем свойство $\operatorname{arccot}(-x) = \pi - \operatorname{arccot}(x)$.

$\operatorname{arccot}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arccot}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Общее решение: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж)

Решение уравнения $\ctg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ находим по формуле $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Главное значение $\operatorname{arccot}(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{3} \in (0; \pi)$.

Общее решение уравнения: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з)

Используем общую формулу $\alpha = \operatorname{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используя свойство $\operatorname{arccot}(-x) = \pi - \operatorname{arccot}(x)$, находим главное значение:

$\operatorname{arccot}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \operatorname{arccot}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Общее решение: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.