Номер 8.31, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.3. Арктангенс - номер 8.31, страница 245.

Условие.

$8.31^\circ$

a) Что называют арктангенсом числа $a$?

б) Для любого ли числа $a$ существует $\operatorname{arctg} a$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Арктангенсом числа $a$ (обозначается $\text{arctg } a$) называют такое число (угол) $\alpha$, которое принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, и тангенс которого равен $a$.
Иными словами, равенство $\alpha = \text{arctg } a$ означает, что одновременно выполняются два условия:
1. $\text{tg } \alpha = a$
2. $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$
Функция $y = \text{arctg } x$ является обратной к функции $y = \text{tg } x$, рассматриваемой на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Например, $\text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, так как $\text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: Арктангенсом числа $a$ называют угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

б) Да, арктангенс существует для любого действительного числа $a$.
Рассмотрим функцию тангенса $y = \text{tg } x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция непрерывна и возрастает, а ее область значений — это множество всех действительных чисел, то есть $E(\text{tg}) = (-\infty; +\infty)$.
Функция арктангенса $y = \text{arctg } a$ является обратной к функции тангенса. По определению обратной функции, область ее определения совпадает с областью значений исходной функции.
Следовательно, область определения функции $y = \text{arctg } a$ есть множество всех действительных чисел, $a \in \mathbb{R}$. Это означает, что для любого действительного числа $a$ можно найти соответствующее значение $\text{arctg } a$.
Ответ: Да, $\text{arctg } a$ существует для любого числа $a$.