Номер 8.27, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.2. Основные формулы для tgα и ctgα - номер 8.27, страница 243.

Условие.

8.27 Вычислите:

а) $\text{tg} (-80^\circ) + \text{tg} (-70^\circ) + \text{tg} (-60^\circ) + \ldots + \text{tg} 60^\circ + \text{tg} 70^\circ + \text{tg} 80^\circ;$

б) $\text{ctg} (-90^\circ) + \text{ctg} (-70^\circ) + \text{ctg} (-50^\circ) + \ldots + \text{ctg} 50^\circ + \text{ctg} 70^\circ + \text{ctg} 90^\circ;$

в) $\text{tg} (-80^\circ) \text{tg} (-70^\circ) \text{tg} (-60^\circ) \cdot \ldots \cdot \text{tg} 60^\circ \text{tg} 70^\circ \text{tg} 80^\circ;$

г) $\text{ctg} 10^\circ \text{ctg} 20^\circ \text{ctg} 30^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg} 160^\circ \text{ctg} 170^\circ.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Рассмотрим выражение: $S = \text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(-70^\circ) + \text{tg}(-60^\circ) + \dots + \text{tg}(60^\circ) + \text{tg}(70^\circ) + \text{tg}(80^\circ)$.

Эта сумма представляет собой арифметическую прогрессию углов от $-80^\circ$ до $80^\circ$ с шагом $10^\circ$. Полный ряд слагаемых выглядит так:

$\text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(-70^\circ) + \dots + \text{tg}(-10^\circ) + \text{tg}(0^\circ) + \text{tg}(10^\circ) + \dots + \text{tg}(70^\circ) + \text{tg}(80^\circ)$.

Используем свойство нечетности тангенса: $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$.

Сгруппируем слагаемые с противоположными углами:

$S = (\text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(80^\circ)) + (\text{tg}(-70^\circ) + \text{tg}(70^\circ)) + \dots + (\text{tg}(-10^\circ) + \text{tg}(10^\circ)) + \text{tg}(0^\circ)$.

Каждая пара в скобках равна нулю, так как $\text{tg}(-x) + \text{tg}(x) = -\text{tg}(x) + \text{tg}(x) = 0$.

Например, $\text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(80^\circ) = -\text{tg}(80^\circ) + \text{tg}(80^\circ) = 0$.

Центральный член суммы - это $\text{tg}(0^\circ)$, который также равен нулю: $\text{tg}(0^\circ) = 0$.

Таким образом, вся сумма равна нулю.

Ответ: 0

б)

Рассмотрим выражение: $S = \text{ctg}(-90^\circ) + \text{ctg}(-70^\circ) + \text{ctg}(-50^\circ) + \dots + \text{ctg}(50^\circ) + \text{ctg}(70^\circ) + \text{ctg}(90^\circ)$.

Слагаемые представляют собой значения котангенса для углов, образующих арифметическую прогрессию от $-90^\circ$ до $90^\circ$ с шагом $20^\circ$.

Используем свойство нечетности котангенса: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.

Сгруппируем слагаемые с противоположными углами:

$S = (\text{ctg}(-90^\circ) + \text{ctg}(90^\circ)) + (\text{ctg}(-70^\circ) + \text{ctg}(70^\circ)) + (\text{ctg}(-50^\circ) + \text{ctg}(50^\circ)) + \dots$

Значения котангенса для $90^\circ$ и $-90^\circ$ равны нулю:

$\text{ctg}(90^\circ) = \frac{\cos(90^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{0}{1} = 0$.

$\text{ctg}(-90^\circ) = \frac{\cos(-90^\circ)}{\sin(-90^\circ)} = \frac{0}{-1} = 0$.

Следовательно, первая пара в сумме равна $0 + 0 = 0$.

Для всех остальных пар, $\text{ctg}(-x) + \text{ctg}(x) = -\text{ctg}(x) + \text{ctg}(x) = 0$.

Так как все слагаемые разбиваются на пары, дающие в сумме ноль, то вся сумма равна нулю.

Ответ: 0

в)

Рассмотрим произведение: $P = \text{tg}(-80^\circ) \cdot \text{tg}(-70^\circ) \cdot \text{tg}(-60^\circ) \cdot \dots \cdot \text{tg}(60^\circ) \cdot \text{tg}(70^\circ) \cdot \text{tg}(80^\circ)$.

Множители в этом произведении являются значениями тангенса для углов, образующих арифметическую прогрессию от $-80^\circ$ до $80^\circ$ с шагом $10^\circ$.

Эта последовательность углов включает угол $0^\circ$.

Один из множителей в произведении — это $\text{tg}(0^\circ)$.

Значение тангенса от нуля равно нулю: $\text{tg}(0^\circ) = 0$.

Все остальные множители в произведении (для углов от $-80^\circ$ до $80^\circ$, исключая $\pm 90^\circ$) являются определенными конечными числами.

Поскольку один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.

$P = \dots \cdot \text{tg}(-10^\circ) \cdot \text{tg}(0^\circ) \cdot \text{tg}(10^\circ) \cdot \dots = \dots \cdot \text{tg}(-10^\circ) \cdot 0 \cdot \text{tg}(10^\circ) \cdot \dots = 0$.

Ответ: 0

г)

Рассмотрим произведение: $P = \text{ctg}(10^\circ) \cdot \text{ctg}(20^\circ) \cdot \text{ctg}(30^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg}(160^\circ) \cdot \text{ctg}(170^\circ)$.

Множители в этом произведении являются значениями котангенса для углов, образующих арифметическую прогрессию от $10^\circ$ до $170^\circ$ с шагом $10^\circ$.

Последовательность углов: $10^\circ, 20^\circ, 30^\circ, \dots, 80^\circ, 90^\circ, 100^\circ, \dots, 170^\circ$.

Эта последовательность включает угол $90^\circ$.

Один из множителей в произведении — это $\text{ctg}(90^\circ)$.

Значение котангенса от $90^\circ$ равно нулю: $\text{ctg}(90^\circ) = \frac{\cos(90^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{0}{1} = 0$.

Все остальные множители в произведении (для углов от $10^\circ$ до $170^\circ$) являются определенными конечными числами, так как котангенс не определен только для углов, кратных $180^\circ$.

Поскольку один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.

$P = \text{ctg}(10^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg}(80^\circ) \cdot \text{ctg}(90^\circ) \cdot \text{ctg}(100^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg}(170^\circ) = \dots \cdot 0 \cdot \dots = 0$.

Ответ: 0