Номер 8.27, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.27, страница 243.
№8.27 (с. 243)
Условие. №8.27 (с. 243)
скриншот условия

8.27 Вычислите:
а) $\text{tg} (-80^\circ) + \text{tg} (-70^\circ) + \text{tg} (-60^\circ) + \ldots + \text{tg} 60^\circ + \text{tg} 70^\circ + \text{tg} 80^\circ;$
б) $\text{ctg} (-90^\circ) + \text{ctg} (-70^\circ) + \text{ctg} (-50^\circ) + \ldots + \text{ctg} 50^\circ + \text{ctg} 70^\circ + \text{ctg} 90^\circ;$
в) $\text{tg} (-80^\circ) \text{tg} (-70^\circ) \text{tg} (-60^\circ) \cdot \ldots \cdot \text{tg} 60^\circ \text{tg} 70^\circ \text{tg} 80^\circ;$
г) $\text{ctg} 10^\circ \text{ctg} 20^\circ \text{ctg} 30^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg} 160^\circ \text{ctg} 170^\circ.$
Решение 1. №8.27 (с. 243)




Решение 2. №8.27 (с. 243)

Решение 3. №8.27 (с. 243)

Решение 4. №8.27 (с. 243)

Решение 5. №8.27 (с. 243)
а)
Рассмотрим выражение: $S = \text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(-70^\circ) + \text{tg}(-60^\circ) + \dots + \text{tg}(60^\circ) + \text{tg}(70^\circ) + \text{tg}(80^\circ)$.
Эта сумма представляет собой арифметическую прогрессию углов от $-80^\circ$ до $80^\circ$ с шагом $10^\circ$. Полный ряд слагаемых выглядит так:
$\text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(-70^\circ) + \dots + \text{tg}(-10^\circ) + \text{tg}(0^\circ) + \text{tg}(10^\circ) + \dots + \text{tg}(70^\circ) + \text{tg}(80^\circ)$.
Используем свойство нечетности тангенса: $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$.
Сгруппируем слагаемые с противоположными углами:
$S = (\text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(80^\circ)) + (\text{tg}(-70^\circ) + \text{tg}(70^\circ)) + \dots + (\text{tg}(-10^\circ) + \text{tg}(10^\circ)) + \text{tg}(0^\circ)$.
Каждая пара в скобках равна нулю, так как $\text{tg}(-x) + \text{tg}(x) = -\text{tg}(x) + \text{tg}(x) = 0$.
Например, $\text{tg}(-80^\circ) + \text{tg}(80^\circ) = -\text{tg}(80^\circ) + \text{tg}(80^\circ) = 0$.
Центральный член суммы - это $\text{tg}(0^\circ)$, который также равен нулю: $\text{tg}(0^\circ) = 0$.
Таким образом, вся сумма равна нулю.
Ответ: 0
б)
Рассмотрим выражение: $S = \text{ctg}(-90^\circ) + \text{ctg}(-70^\circ) + \text{ctg}(-50^\circ) + \dots + \text{ctg}(50^\circ) + \text{ctg}(70^\circ) + \text{ctg}(90^\circ)$.
Слагаемые представляют собой значения котангенса для углов, образующих арифметическую прогрессию от $-90^\circ$ до $90^\circ$ с шагом $20^\circ$.
Используем свойство нечетности котангенса: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.
Сгруппируем слагаемые с противоположными углами:
$S = (\text{ctg}(-90^\circ) + \text{ctg}(90^\circ)) + (\text{ctg}(-70^\circ) + \text{ctg}(70^\circ)) + (\text{ctg}(-50^\circ) + \text{ctg}(50^\circ)) + \dots$
Значения котангенса для $90^\circ$ и $-90^\circ$ равны нулю:
$\text{ctg}(90^\circ) = \frac{\cos(90^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{0}{1} = 0$.
$\text{ctg}(-90^\circ) = \frac{\cos(-90^\circ)}{\sin(-90^\circ)} = \frac{0}{-1} = 0$.
Следовательно, первая пара в сумме равна $0 + 0 = 0$.
Для всех остальных пар, $\text{ctg}(-x) + \text{ctg}(x) = -\text{ctg}(x) + \text{ctg}(x) = 0$.
Так как все слагаемые разбиваются на пары, дающие в сумме ноль, то вся сумма равна нулю.
Ответ: 0
в)
Рассмотрим произведение: $P = \text{tg}(-80^\circ) \cdot \text{tg}(-70^\circ) \cdot \text{tg}(-60^\circ) \cdot \dots \cdot \text{tg}(60^\circ) \cdot \text{tg}(70^\circ) \cdot \text{tg}(80^\circ)$.
Множители в этом произведении являются значениями тангенса для углов, образующих арифметическую прогрессию от $-80^\circ$ до $80^\circ$ с шагом $10^\circ$.
Эта последовательность углов включает угол $0^\circ$.
Один из множителей в произведении — это $\text{tg}(0^\circ)$.
Значение тангенса от нуля равно нулю: $\text{tg}(0^\circ) = 0$.
Все остальные множители в произведении (для углов от $-80^\circ$ до $80^\circ$, исключая $\pm 90^\circ$) являются определенными конечными числами.
Поскольку один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.
$P = \dots \cdot \text{tg}(-10^\circ) \cdot \text{tg}(0^\circ) \cdot \text{tg}(10^\circ) \cdot \dots = \dots \cdot \text{tg}(-10^\circ) \cdot 0 \cdot \text{tg}(10^\circ) \cdot \dots = 0$.
Ответ: 0
г)
Рассмотрим произведение: $P = \text{ctg}(10^\circ) \cdot \text{ctg}(20^\circ) \cdot \text{ctg}(30^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg}(160^\circ) \cdot \text{ctg}(170^\circ)$.
Множители в этом произведении являются значениями котангенса для углов, образующих арифметическую прогрессию от $10^\circ$ до $170^\circ$ с шагом $10^\circ$.
Последовательность углов: $10^\circ, 20^\circ, 30^\circ, \dots, 80^\circ, 90^\circ, 100^\circ, \dots, 170^\circ$.
Эта последовательность включает угол $90^\circ$.
Один из множителей в произведении — это $\text{ctg}(90^\circ)$.
Значение котангенса от $90^\circ$ равно нулю: $\text{ctg}(90^\circ) = \frac{\cos(90^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{0}{1} = 0$.
Все остальные множители в произведении (для углов от $10^\circ$ до $170^\circ$) являются определенными конечными числами, так как котангенс не определен только для углов, кратных $180^\circ$.
Поскольку один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.
$P = \text{ctg}(10^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg}(80^\circ) \cdot \text{ctg}(90^\circ) \cdot \text{ctg}(100^\circ) \cdot \dots \cdot \text{ctg}(170^\circ) = \dots \cdot 0 \cdot \dots = 0$.
Ответ: 0
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 8.27 расположенного на странице 243 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8.27 (с. 243), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.