Номер 8.33, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.3. Арктангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.33, страница 246.

8.33 a) $\arctg 0$;

б) $\arctg 1$;

в) $\arctg (-1)$;

г) $\arctg \sqrt{3}$;

д) $\arctg (-\sqrt{3})$;

е) $\arctg \frac{\sqrt{3}}{3}$;

ж) $\arctg \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

а)

Арктангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arctg } a$, — это угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Формально: $y = \text{arctg } a \iff \text{tg } y = a$ и $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Требуется найти $\text{arctg } 0$. Для этого нужно найти такой угол $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что $\text{tg } y = 0$.

Поскольку $\text{tg } y = \frac{\sin y}{\cos y}$, тангенс равен нулю, когда синус равен нулю ($\sin y = 0$).

В интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ единственное значение, при котором синус равен нулю, — это $y=0$.

Следовательно, $\text{arctg } 0 = 0$.

Ответ: $0$

б)

Требуется найти $\text{arctg } 1$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = 1$.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\text{tg } \frac{\pi}{4} = 1$.

Угол $\frac{\pi}{4}$ входит в область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Следовательно, $\text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в)

Требуется найти $\text{arctg } (-1)$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = -1$.

Функция арктангенс является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\text{arctg } (-x) = -\text{arctg } x$.

Применим это свойство: $\text{arctg } (-1) = -\text{arctg } 1$.

Из предыдущего задания известно, что $\text{arctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

Значит, $\text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

г)

Требуется найти $\text{arctg } \sqrt{3}$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = \sqrt{3}$.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Угол $\frac{\pi}{3}$ входит в область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Следовательно, $\text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

д)

Требуется найти $\text{arctg } (-\sqrt{3})$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = -\sqrt{3}$.

Используем свойство нечетности функции арктангенса: $\text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\text{arctg } \sqrt{3}$.

Из предыдущего задания известно, что $\text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.

Значит, $\text{arctg } (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Угол $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

е)

Требуется найти $\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3}$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\text{tg } \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол $\frac{\pi}{6}$ входит в область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Следовательно, $\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

ж)

Требуется найти $\text{arctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Мы ищем угол $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Используем свойство нечетности функции арктангенса: $\text{arctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Из предыдущего задания известно, что $\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$.

Значит, $\text{arctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$.

Угол $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$