Номер 8.36, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.3. Арктангенс - номер 8.36, страница 246.

Условие.

8.36 Найдите все углы $\alpha$, для каждого из которых:

a) $tg \alpha = 0;$

б) $tg \alpha = 1;$

в) $tg \alpha = -1;$

г) $tg \alpha = \sqrt{3};$

д) $tg \alpha = -\sqrt{3};$

е) $tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3};$

ж) $tg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

з) $tg \alpha = 2;$

и) $tg \alpha = -3;$

к) $tg \alpha = 5;$

л) $tg \alpha = \frac{1}{2};$

м) $tg \alpha = -\frac{1}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для нахождения всех углов $\alpha$, удовлетворяющих уравнению $tg \alpha = a$, используется общая формула: $\alpha = arctg(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этой формуле $arctg(a)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

а) Для уравнения $tg \alpha = 0$:
Находим главное значение (арктангенс): $arctg(0) = 0$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = 0 + \pi k = \pi k$.
Ответ: $\alpha = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для уравнения $tg \alpha = 1$:
Находим главное значение, это табличное значение: $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Для уравнения $tg \alpha = -1$:
Используя свойство нечетности арктангенса $arctg(-x) = -arctg(x)$, находим главное значение: $arctg(-1) = -arctg(1) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для уравнения $tg \alpha = \sqrt{3}$:
Находим главное значение, это табличное значение: $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) Для уравнения $tg \alpha = -\sqrt{3}$:
Находим главное значение: $arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Для уравнения $tg \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$:
Находим главное значение, это табличное значение: $arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж) Для уравнения $tg \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$:
Находим главное значение: $arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \pi k$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з) Для уравнения $tg \alpha = 2$:
Так как $2$ не является табличным значением для тангенса, решение записывается напрямую через общую формулу.
Ответ: $\alpha = arctg(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

и) Для уравнения $tg \alpha = -3$:
Так как $-3$ не является табличным значением, решение записывается напрямую через общую формулу.
Ответ: $\alpha = arctg(-3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

к) Для уравнения $tg \alpha = 5$:
Так как $5$ не является табличным значением, решение записывается напрямую через общую формулу.
Ответ: $\alpha = arctg(5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

л) Для уравнения $tg \alpha = \frac{1}{2}$:
Так как $\frac{1}{2}$ не является табличным значением, решение записывается напрямую через общую формулу.
Ответ: $\alpha = arctg\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

м) Для уравнения $tg \alpha = -\frac{1}{3}$:
Так как $-\frac{1}{3}$ не является табличным значением, решение записывается напрямую через общую формулу.
Ответ: $\alpha = arctg\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.