Номер 8.34, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.3. Арктангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.34, страница 246.

8.34 Сравните с нулём:

a) $arctg 1$;б) $arctg 2$;в) $arctg 3$;

г) $arctg (-1)$;д) $arctg (-2)$;е) $arctg (-3)$;

ж) $arctg \frac{\pi}{2}$;з) $arctg \pi$;и) $arctg (-\pi)$.

Для того чтобы сравнить значения выражений с нулём, воспользуемся свойствами функции арктангенс $y = \text{arctg } x$.

Функция арктангенс определена для всех действительных чисел $x$, а её область значений — интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Функция является нечётной ($\text{arctg}(-x) = -\text{arctg } x$) и строго возрастающей на всей области определения. Ключевым свойством для данной задачи является то, что знак значения функции $\text{arctg } x$ совпадает со знаком её аргумента $x$. Это следует из того, что $\text{arctg } 0 = 0$ и функция возрастает:

• Если аргумент $x > 0$, то $\text{arctg } x > \text{arctg } 0$, следовательно, $\text{arctg } x > 0$.
• Если аргумент $x < 0$, то $\text{arctg } x < \text{arctg } 0$, следовательно, $\text{arctg } x < 0$.

Применим это правило для каждого случая.

а) В выражении $\text{arctg } 1$ аргумент равен $1$. Так как $1 > 0$, значение арктангенса будет положительным.
Ответ: $\text{arctg } 1 > 0$.

б) В выражении $\text{arctg } 2$ аргумент равен $2$. Так как $2 > 0$, значение арктангенса будет положительным.
Ответ: $\text{arctg } 2 > 0$.

в) В выражении $\text{arctg } 3$ аргумент равен $3$. Так как $3 > 0$, значение арктангенса будет положительным.
Ответ: $\text{arctg } 3 > 0$.

г) В выражении $\text{arctg } (-1)$ аргумент равен $-1$. Так как $-1 < 0$, значение арктангенса будет отрицательным.
Ответ: $\text{arctg } (-1) < 0$.

д) В выражении $\text{arctg } (-2)$ аргумент равен $-2$. Так как $-2 < 0$, значение арктангенса будет отрицательным.
Ответ: $\text{arctg } (-2) < 0$.

е) В выражении $\text{arctg } (-3)$ аргумент равен $-3$. Так как $-3 < 0$, значение арктангенса будет отрицательным.
Ответ: $\text{arctg } (-3) < 0$.

ж) В выражении $\text{arctg } \frac{\pi}{2}$ аргумент равен $\frac{\pi}{2}$. Число $\pi \approx 3.14159$, поэтому $\frac{\pi}{2} > 0$. Следовательно, значение арктангенса будет положительным.
Ответ: $\text{arctg } \frac{\pi}{2} > 0$.

з) В выражении $\text{arctg } \pi$ аргумент равен $\pi$. Так как $\pi > 0$, значение арктангенса будет положительным.
Ответ: $\text{arctg } \pi > 0$.

и) В выражении $\text{arctg } (-\pi)$ аргумент равен $-\pi$. Так как $-\pi < 0$, значение арктангенса будет отрицательным.
Ответ: $\text{arctg } (-\pi) < 0$.