Номер 8.39, страница 248 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.4*. Арккотангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.39, страница 248.

Вычислите (8.39—8.40):

8.39

а) $ctg (arcctg 1);$

б) $ctg (arcctg 2);$

в) $ctg (arcctg (-3));$

г) $ctg (arcctg \pi);$

д) $ctg (arcctg \sqrt{3});$

е) $ctg \left(arcctg \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

ж) $ctg (arcctg 1999);$

з) $ctg (arcctg (-2000)).$

Для решения всех пунктов этого задания используется основное свойство арккотангенса. По определению, арккотангенс числа $a$ (обозначается как $\mathrm{arcctg}\ a$) — это такое число $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, что его котангенс равен $a$, то есть $\mathrm{ctg}(\alpha) = a$.

Из этого определения следует, что если мы сначала найдем угол $\alpha = \mathrm{arcctg}\ a$, а затем вычислим котангенс этого угла, мы вернемся к исходному числу $a$. Таким образом, для любого действительного числа $a$ справедливо тождество $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$.

Применим это тождество к каждому из предложенных выражений.

а) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}\ 1)$ имеем $a = 1$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}\ 1) = 1$.
Ответ: 1

б) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}\ 2)$ имеем $a = 2$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}\ 2) = 2$.
Ответ: 2

в) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}(-3))$ имеем $a = -3$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}(-3)) = -3$.
Ответ: -3

г) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}\ \pi)$ имеем $a = \pi$. Поскольку $\pi$ является действительным числом, тождество $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$ применимо, и мы получаем $ctg(\mathrm{arcctg}\ \pi) = \pi$.
Ответ: $\pi$

д) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}\ \sqrt{3})$ имеем $a = \sqrt{3}$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}\ \sqrt{3}) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

е) В выражении $ctg\left(\mathrm{arcctg}\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ имеем $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg\left(\mathrm{arcctg}\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

ж) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}\ 1999)$ имеем $a = 1999$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}\ 1999) = 1999$.
Ответ: 1999

з) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}(-2000))$ имеем $a = -2000$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}(-2000)) = -2000$.
Ответ: -2000