Номер 8.40, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.4*. Арккотангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.40, страница 249.

8.40 а) $\operatorname{arcctg} 0$;

б) $\operatorname{arcctg} 1$;

в) $\operatorname{arcctg} (-1)$;

г) $\operatorname{arcctg} \sqrt{3}$;

д) $\operatorname{arcctg} (-\sqrt{3})$;

е) $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3}$;

ж) $\operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

а) По определению, арккотангенс числа $a$ (обозначается $\text{arcctg } a$) – это такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, что его котангенс равен $a$. В данном случае, нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = 0$.

Функция котангенса, определяемая как $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, равна нулю, когда числитель $\cos \alpha = 0$, а знаменатель $\sin \alpha \neq 0$.

В интервале $(0, \pi)$ косинус равен нулю при $\alpha = \frac{\pi}{2}$. При этом значении $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, что не равно нулю. Следовательно, искомый угол существует и равен $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = 1$.

Это является табличным значением для тригонометрических функций. Котангенс равен 1 для угла $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Поскольку значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то $\text{arcctg } 1 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = -1$.

Для нахождения арккотангенса отрицательного числа используется свойство: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.

Применим это свойство к нашему случаю: $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.

Из предыдущего пункта известно, что $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Тогда $\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, и его котангенс действительно равен $-1$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

г) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = \sqrt{3}$.

Это табличное значение. Угол, котангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

Так как $\frac{\pi}{6}$ находится в интервале $(0, \pi)$, то $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

д) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = -\sqrt{3}$.

Воспользуемся свойством $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.

$\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \text{arcctg}(\sqrt{3})$.

Из пункта г) мы знаем, что $\text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, и его котангенс равен $-\sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

е) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значение $\frac{\sqrt{3}}{3}$ можно представить как $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Это табличное значение для котангенса.

Угол, котангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, это $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Поскольку $\frac{\pi}{3}$ находится в интервале $(0, \pi)$, то $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

ж) Нам нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Снова используем свойство $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.

$\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Из пункта е) известно, что $\text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\text{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Угол $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, и его котангенс равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$