Номер 8.38, страница 248 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.4*. Арккотангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.38, страница 248.

$8.38^\circ$

a) Что называют арккотангенсом числа $a$?

б) Для любого ли числа $a$ существует $\text{arcctg } a$?

а) Арккотангенс числа $a$ — это значение угла $y$, выраженное в радианах, для которого выполняются два условия:

1. котангенс этого угла равен $a$;
2. этот угол находится в интервале от $0$ до $\pi$.

Более формально, запись $y = \operatorname{arcctg}(a)$ означает, что $\operatorname{ctg}(y) = a$ и $0 < y < \pi$.

Функция котангенс ($y=\operatorname{ctg}(x)$) является периодической, и чтобы определить для нее обратную функцию (арккотангенс), ее область определения сужают до интервала, где она монотонна. Стандартно для этого выбирают интервал $(0, \pi)$. На этом промежутке функция $y=\operatorname{ctg}(x)$ является строго убывающей и принимает все возможные действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$. Поэтому для любого числа $a$ можно найти единственный угол $y$ в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого будет равен $a$.

Например, $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и число $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Ответ: Арккотангенсом числа $a$ (обозначается $\operatorname{arcctg}(a)$) называют такое число $y$ из интервала $(0, \pi)$, что его котангенс равен $a$. То есть, $y = \operatorname{arcctg}(a)$, если $\operatorname{ctg}(y) = a$ и $0 < y < \pi$.

б) Да, арккотангенс существует для любого действительного числа $a$.

Это связано с тем, что область определения функции арккотангенса ($y=\operatorname{arcctg}(a)$) совпадает с областью значений функции котангенса ($y=\operatorname{ctg}(x)$) на ее главном интервале $(0, \pi)$.

Рассмотрим поведение функции $y=\operatorname{ctg}(x)$ на интервале $(0, \pi)$:

— при $x$, стремящемся к $0$ справа ($x \to 0+$), значение $\operatorname{ctg}(x)$ стремится к $+\infty$;
— при $x$, стремящемся к $\pi$ слева ($x \to \pi-$), значение $\operatorname{ctg}(x)$ стремится к $-\infty$.

Так как функция $y=\operatorname{ctg}(x)$ непрерывна на интервале $(0, \pi)$, она принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, ее область значений — это множество всех действительных чисел, $E(\operatorname{ctg}) = (-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$.

Поскольку область определения арккотангенса является областью значений котангенса на указанном интервале, то $\operatorname{arcctg}(a)$ определен для любого действительного числа $a$.

Ответ: Да, $\operatorname{arcctg}(a)$ существует для любого действительного числа $a$.