Страница 248 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.37° Назовите угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен:

а) 1;

б) 0;

в) -1;

г) $\sqrt{3}$;

д) $-\sqrt{3}$;

е) $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

ж) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = 1$.

Искомый угол является значением арккотангенса от 1. По определению, $\alpha = \mathrm{arcctg}(1)$. Так как значение котангенса положительное ($1 > 0$), угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$. Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что $\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Поскольку $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$, это и есть искомый угол.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = 0$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(0)$. Котангенс равен нулю, когда косинус угла равен нулю, а синус не равен нулю. В промежутке $(0; \pi)$ это условие выполняется для угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Проверим: $\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$. Угол $\frac{\pi}{2}$ принадлежит заданному промежутку.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

в) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = -1$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(-1)$. Так как значение котангенса отрицательное ($-1 < 0$), угол $\alpha$ находится во второй четверти, то есть $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$. Для нахождения значения арккотангенса отрицательного числа используем формулу: $\mathrm{arcctg}(-x) = \pi - \mathrm{arcctg}(x)$. В нашем случае: $\alpha = \mathrm{arcctg}(-1) = \pi - \mathrm{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

г) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = \sqrt{3}$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(\sqrt{3})$. Так как значение котангенса положительное ($\sqrt{3} > 0$), угол $\alpha$ находится в первой четверти. Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

д) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = -\sqrt{3}$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3})$. Так как значение котангенса отрицательное ($-\sqrt{3} < 0$), угол $\alpha$ находится во второй четверти. Используем формулу $\mathrm{arcctg}(-x) = \pi - \mathrm{arcctg}(x)$. Получаем: $\alpha = \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \mathrm{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

е) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как значение котангенса положительное ($\frac{\sqrt{3}}{3} > 0$), угол $\alpha$ находится в первой четверти. Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

ж) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $\mathrm{ctg}(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Искомый угол $\alpha = \mathrm{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как значение котангенса отрицательное ($-\frac{\sqrt{3}}{3} < 0$), угол $\alpha$ находится во второй четверти. Используем формулу $\mathrm{arcctg}(-x) = \pi - \mathrm{arcctg}(x)$. Получаем: $\alpha = \mathrm{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \mathrm{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

$8.38^\circ$

a) Что называют арккотангенсом числа $a$?

б) Для любого ли числа $a$ существует $\text{arcctg } a$?

а) Арккотангенс числа $a$ — это значение угла $y$, выраженное в радианах, для которого выполняются два условия:

1. котангенс этого угла равен $a$;
2. этот угол находится в интервале от $0$ до $\pi$.

Более формально, запись $y = \operatorname{arcctg}(a)$ означает, что $\operatorname{ctg}(y) = a$ и $0 < y < \pi$.

Функция котангенс ($y=\operatorname{ctg}(x)$) является периодической, и чтобы определить для нее обратную функцию (арккотангенс), ее область определения сужают до интервала, где она монотонна. Стандартно для этого выбирают интервал $(0, \pi)$. На этом промежутке функция $y=\operatorname{ctg}(x)$ является строго убывающей и принимает все возможные действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$. Поэтому для любого числа $a$ можно найти единственный угол $y$ в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого будет равен $a$.

Например, $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и число $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Ответ: Арккотангенсом числа $a$ (обозначается $\operatorname{arcctg}(a)$) называют такое число $y$ из интервала $(0, \pi)$, что его котангенс равен $a$. То есть, $y = \operatorname{arcctg}(a)$, если $\operatorname{ctg}(y) = a$ и $0 < y < \pi$.

б) Да, арккотангенс существует для любого действительного числа $a$.

Это связано с тем, что область определения функции арккотангенса ($y=\operatorname{arcctg}(a)$) совпадает с областью значений функции котангенса ($y=\operatorname{ctg}(x)$) на ее главном интервале $(0, \pi)$.

Рассмотрим поведение функции $y=\operatorname{ctg}(x)$ на интервале $(0, \pi)$:

— при $x$, стремящемся к $0$ справа ($x \to 0+$), значение $\operatorname{ctg}(x)$ стремится к $+\infty$;
— при $x$, стремящемся к $\pi$ слева ($x \to \pi-$), значение $\operatorname{ctg}(x)$ стремится к $-\infty$.

Так как функция $y=\operatorname{ctg}(x)$ непрерывна на интервале $(0, \pi)$, она принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, ее область значений — это множество всех действительных чисел, $E(\operatorname{ctg}) = (-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$.

Поскольку область определения арккотангенса является областью значений котангенса на указанном интервале, то $\operatorname{arcctg}(a)$ определен для любого действительного числа $a$.

Ответ: Да, $\operatorname{arcctg}(a)$ существует для любого действительного числа $a$.

Вычислите (8.39—8.40):

8.39

а) $ctg (arcctg 1);$

б) $ctg (arcctg 2);$

в) $ctg (arcctg (-3));$

г) $ctg (arcctg \pi);$

д) $ctg (arcctg \sqrt{3});$

е) $ctg \left(arcctg \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

ж) $ctg (arcctg 1999);$

з) $ctg (arcctg (-2000)).$

Для решения всех пунктов этого задания используется основное свойство арккотангенса. По определению, арккотангенс числа $a$ (обозначается как $\mathrm{arcctg}\ a$) — это такое число $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, что его котангенс равен $a$, то есть $\mathrm{ctg}(\alpha) = a$.

Из этого определения следует, что если мы сначала найдем угол $\alpha = \mathrm{arcctg}\ a$, а затем вычислим котангенс этого угла, мы вернемся к исходному числу $a$. Таким образом, для любого действительного числа $a$ справедливо тождество $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$.

Применим это тождество к каждому из предложенных выражений.

а) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}\ 1)$ имеем $a = 1$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}\ 1) = 1$.
Ответ: 1

б) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}\ 2)$ имеем $a = 2$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}\ 2) = 2$.
Ответ: 2

в) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}(-3))$ имеем $a = -3$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}(-3)) = -3$.
Ответ: -3

г) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}\ \pi)$ имеем $a = \pi$. Поскольку $\pi$ является действительным числом, тождество $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$ применимо, и мы получаем $ctg(\mathrm{arcctg}\ \pi) = \pi$.
Ответ: $\pi$

д) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}\ \sqrt{3})$ имеем $a = \sqrt{3}$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}\ \sqrt{3}) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

е) В выражении $ctg\left(\mathrm{arcctg}\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ имеем $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg\left(\mathrm{arcctg}\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

ж) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}\ 1999)$ имеем $a = 1999$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}\ 1999) = 1999$.
Ответ: 1999

з) В выражении $ctg(\mathrm{arcctg}(-2000))$ имеем $a = -2000$. По тождеству $ctg(\mathrm{arcctg}\ a) = a$, получаем $ctg(\mathrm{arcctg}(-2000)) = -2000$.
Ответ: -2000