Страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.30° Назовите угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен:

а) $1$;

б) $0$;

в) $-1$;

г) $\sqrt{3}$;

д) $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

е) $-\sqrt{3}$;

ж) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 1. Это можно записать как уравнение $\tan(\alpha) = 1$. Решением этого уравнения является $\alpha = \arctan(1)$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что тангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1. Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит заданному промежутку, так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 0. Это уравнение $\tan(\alpha) = 0$. Решением является $\alpha = \arctan(0)$. Тангенс равен нулю, когда синус угла равен нулю, а косинус не равен нулю. Это происходит при углах, кратных $\pi$, то есть $\alpha = k\pi$, где $k$ - целое число. Единственный угол из этой серии, который попадает в промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, это 0.
Ответ: 0.

в) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен -1. Уравнение: $\tan(\alpha) = -1$. Решением является $\alpha = \arctan(-1)$. Функция арктангенс является нечетной, поэтому $\arctan(-1) = -\arctan(1)$. Так как $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, то искомый угол равен $-\frac{\pi}{4}$. Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

г) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Уравнение: $\tan(\alpha) = \sqrt{3}$. Решением является $\alpha = \arctan(\sqrt{3})$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что тангенс угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\sqrt{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

д) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Уравнение: $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Решением является $\alpha = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что тангенс угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

е) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-\sqrt{3}$. Уравнение: $\tan(\alpha) = -\sqrt{3}$. Решением является $\alpha = \arctan(-\sqrt{3})$. Используя нечетность функции арктангенс, получаем $\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3})$. Так как $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, искомый угол равен $-\frac{\pi}{3}$. Угол $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

ж) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Уравнение: $\tan(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Решением является $\alpha = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Используя нечетность функции арктангенс, получаем $\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$, искомый угол равен $-\frac{\pi}{6}$. Угол $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

$8.31^\circ$

a) Что называют арктангенсом числа $a$?

б) Для любого ли числа $a$ существует $\operatorname{arctg} a$?

а) Арктангенсом числа $a$ (обозначается $\text{arctg } a$) называют такое число (угол) $\alpha$, которое принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, и тангенс которого равен $a$.
Иными словами, равенство $\alpha = \text{arctg } a$ означает, что одновременно выполняются два условия:
1. $\text{tg } \alpha = a$
2. $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$
Функция $y = \text{arctg } x$ является обратной к функции $y = \text{tg } x$, рассматриваемой на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Например, $\text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, так как $\text{tg } \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: Арктангенсом числа $a$ называют угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

б) Да, арктангенс существует для любого действительного числа $a$.
Рассмотрим функцию тангенса $y = \text{tg } x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция непрерывна и возрастает, а ее область значений — это множество всех действительных чисел, то есть $E(\text{tg}) = (-\infty; +\infty)$.
Функция арктангенса $y = \text{arctg } a$ является обратной к функции тангенса. По определению обратной функции, область ее определения совпадает с областью значений исходной функции.
Следовательно, область определения функции $y = \text{arctg } a$ есть множество всех действительных чисел, $a \in \mathbb{R}$. Это означает, что для любого действительного числа $a$ можно найти соответствующее значение $\text{arctg } a$.
Ответ: Да, $\text{arctg } a$ существует для любого числа $a$.

Вычислите (8.32–8.33):

8.32

a) $ \text{tg} (\text{arctg} 1) $;

б) $ \text{tg} (\text{arctg} 2) $;

в) $ \text{tg} (\text{arctg} (-3)) $;

г) $ \text{tg} (\text{arctg} \pi) $;

д) $ \text{tg} (\text{arctg} \sqrt{3}) $;

е) $ \text{tg} \left(\text{arctg} \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $;

ж) $ \text{tg} (\text{arctg} 1999) $;

з) $ \text{tg} (\text{arctg} (-2000)) $.

Для решения всех пунктов этого задания используется основное тождество, связывающее тангенс и арктангенс.

По определению, арктангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arctg}(a)$, — это угол $\alpha$, принадлежащий интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. То есть, если $\alpha = \text{arctg}(a)$, то $\text{tg}(\alpha) = a$.

Подставив в последнее равенство вместо $\alpha$ его выражение через арктангенс, мы получаем тождество: $\text{tg}(\text{arctg}(a)) = a$.

Это тождество справедливо для любого действительного числа $a$, так как область определения функции арктангенс — это все действительные числа ($\mathbb{R}$). Далее мы применим это тождество к каждому из выражений.

а) В выражении $\text{tg}(\text{arctg } 1)$ имеем $a = 1$. Согласно тождеству $\text{tg}(\text{arctg}(a)) = a$, получаем: $\text{tg}(\text{arctg } 1) = 1$.

Ответ: $1$.

б) В выражении $\text{tg}(\text{arctg } 2)$ имеем $a = 2$. Согласно тому же тождеству, получаем: $\text{tg}(\text{arctg } 2) = 2$.

Ответ: $2$.

в) Здесь $a = -3$. Применяя тождество $\text{tg}(\text{arctg}(a)) = a$, находим: $\text{tg}(\text{arctg}(-3)) = -3$.

Ответ: $-3$.

г) В данном случае $a = \pi$. Используя тождество, получаем: $\text{tg}(\text{arctg } \pi) = \pi$.

Ответ: $\pi$.

д) Здесь аргумент $a = \sqrt{3}$. По тождеству $\text{tg}(\text{arctg}(a)) = a$ имеем: $\text{tg}(\text{arctg } \sqrt{3}) = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

е) В этом выражении $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Применяем тождество: $\text{tg}\left(\text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

ж) Здесь $a = 1999$. Согласно тождеству $\text{tg}(\text{arctg}(a)) = a$, получаем: $\text{tg}(\text{arctg } 1999) = 1999$.

Ответ: $1999$.

з) В последнем выражении $a = -2000$. Используя тождество, находим: $\text{tg}(\text{arctg}(-2000)) = -2000$.

Ответ: $-2000$.