Номер 8.30, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.3. Арктангенс. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.30, страница 245.

8.30° Назовите угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен:

а) $1$;

б) $0$;

в) $-1$;

г) $\sqrt{3}$;

д) $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

е) $-\sqrt{3}$;

ж) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 1. Это можно записать как уравнение $\tan(\alpha) = 1$. Решением этого уравнения является $\alpha = \arctan(1)$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что тангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1. Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит заданному промежутку, так как $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

б) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 0. Это уравнение $\tan(\alpha) = 0$. Решением является $\alpha = \arctan(0)$. Тангенс равен нулю, когда синус угла равен нулю, а косинус не равен нулю. Это происходит при углах, кратных $\pi$, то есть $\alpha = k\pi$, где $k$ - целое число. Единственный угол из этой серии, который попадает в промежуток $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, это 0.
Ответ: 0.

в) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен -1. Уравнение: $\tan(\alpha) = -1$. Решением является $\alpha = \arctan(-1)$. Функция арктангенс является нечетной, поэтому $\arctan(-1) = -\arctan(1)$. Так как $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, то искомый угол равен $-\frac{\pi}{4}$. Угол $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

г) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Уравнение: $\tan(\alpha) = \sqrt{3}$. Решением является $\alpha = \arctan(\sqrt{3})$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что тангенс угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\sqrt{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

д) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Уравнение: $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Решением является $\alpha = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что тангенс угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

е) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-\sqrt{3}$. Уравнение: $\tan(\alpha) = -\sqrt{3}$. Решением является $\alpha = \arctan(-\sqrt{3})$. Используя нечетность функции арктангенс, получаем $\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3})$. Так как $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, искомый угол равен $-\frac{\pi}{3}$. Угол $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

ж) Нам нужно найти угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Уравнение: $\tan(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Решением является $\alpha = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Используя нечетность функции арктангенс, получаем $\arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$, искомый угол равен $-\frac{\pi}{6}$. Угол $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит заданному промежутку.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.