Номер 8.25, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.25, страница 243.

8.25 а) $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha;$

б) $\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha};$

в) $\sin^2 \beta + \operatorname{tg}^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta};$

г) $\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha.$

а)

Дано выражение для упрощения: $ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} + \tg \alpha \ctg \alpha $.

Для упрощения дроби используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Из него следуют два равенства:

$ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $

$ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $

Для второго слагаемого используем тождество $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $.

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 1 $

Выражение $ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $ по определению является квадратом котангенса: $ \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = \ctg^2 \alpha $.

Таким образом, мы получаем: $ \ctg^2 \alpha + 1 $.

Используем еще одно тригонометрическое тождество, которое является следствием из основного: $ 1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.

Ответ: $ \frac{1}{\sin^2 \alpha} $

б)

Рассмотрим выражение: $ \frac{\tg \alpha}{\tg \alpha \ctg \alpha + \tg^2 \alpha} $.

Сначала упростим знаменатель. Используя тождество $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $, получаем:

$ \tg \alpha \ctg \alpha + \tg^2 \alpha = 1 + \tg^2 \alpha $

Теперь все выражение имеет вид:

$ \frac{\tg \alpha}{1 + \tg^2 \alpha} $

Далее, используем тождество $ 1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $. Подставим его в знаменатель:

$ \frac{\tg \alpha}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \tg \alpha \cdot \cos^2 \alpha $

Наконец, заменим тангенс по определению $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $:

$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha $

Ответ: $ \sin \alpha \cos \alpha $

в)

Упростим выражение: $ \sin^2 \beta + \tg^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta} $.

Сгруппируем второе и третье слагаемые: $ \sin^2 \beta + \left( \tg^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta} \right) $.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ 1 + \tg^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} $. Из него можно выразить разность в скобках:

$ \tg^2 \beta - \frac{1}{\cos^2 \beta} = -1 $

Подставим это значение обратно в выражение:

$ \sin^2 \beta + (-1) = \sin^2 \beta - 1 $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $, выразим $ \sin^2 \beta - 1 $:

$ \sin^2 \beta - 1 = -\cos^2 \beta $

Ответ: $ -\cos^2 \beta $

г)

Упростим выражение: $ \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \ctg^2 \alpha - \cos^2 \alpha $.

Сгруппируем первые два члена: $ \left( \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \ctg^2 \alpha \right) - \cos^2 \alpha $.

Используем тождество $ 1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $. Преобразуем его, чтобы найти значение выражения в скобках:

$ \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \ctg^2 \alpha = 1 $

Подставим полученное значение в выражение:

$ 1 - \cos^2 \alpha $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, следует, что:

$ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $

Ответ: $ \sin^2 \alpha $