Номер 8.22, страница 242 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.22, страница 242.

8.22 Вычислите:

a) sin $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\cos \alpha = \frac{3}{5}$;

б) cos $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$;

в) sin $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ и $\cos \alpha = -0,6$;

г) cos $\alpha$, tg $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ и $\sin \alpha = -0,8$;

д) sin $\alpha$, cos $\alpha$ и ctg $\alpha$, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\operatorname{tg} \alpha = 2,4$;

е) cos $\alpha$, sin $\alpha$ и tg $\alpha$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ и $\operatorname{ctg} \alpha = -1$;

ж) sin $\alpha$, если $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$ и $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12}$;

з) cos $\alpha$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ и $\operatorname{ctg} \alpha = 1$.

а) Дано: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (I четверть) и $cos\,\alpha = \frac{3}{5}$. В I четверти все тригонометрические функции положительны.
1. Найдем $sin\,\alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
Так как $\alpha$ в I четверти, $sin\,\alpha > 0$, поэтому $sin\,\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
2. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
3. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $sin\,\alpha = \frac{4}{5}$, $tg\,\alpha = \frac{4}{3}$, $ctg\,\alpha = \frac{3}{4}$.

б) Дано: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть) и $sin\,\alpha = \frac{1}{2}$. Во II четверти $cos\,\alpha < 0$, $tg\,\alpha < 0$, $ctg\,\alpha < 0$.
1. Найдем $cos\,\alpha$ из $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Так как $\alpha$ во II четверти, $cos\,\alpha < 0$, поэтому $cos\,\alpha = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
3. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = \frac{1}{-1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $cos\,\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tg\,\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg\,\alpha = -\sqrt{3}$.

в) Дано: $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть) и $cos\,\alpha = -0,6$. В III четверти $sin\,\alpha < 0$, $tg\,\alpha > 0$, $ctg\,\alpha > 0$.
1. Найдем $sin\,\alpha$ из $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Так как $\alpha$ в III четверти, $sin\,\alpha < 0$, поэтому $sin\,\alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8$.
2. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha} = \frac{-0,8}{-0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
3. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $sin\,\alpha = -0,8$, $tg\,\alpha = \frac{4}{3}$, $ctg\,\alpha = \frac{3}{4}$.

г) Дано: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (IV четверть) и $sin\,\alpha = -0,8$. В IV четверти $cos\,\alpha > 0$, $tg\,\alpha < 0$, $ctg\,\alpha < 0$.
1. Найдем $cos\,\alpha$ из $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Так как $\alpha$ в IV четверти, $cos\,\alpha > 0$, поэтому $cos\,\alpha = \sqrt{0,36} = 0,6$.
2. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha} = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
3. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $cos\,\alpha = 0,6$, $tg\,\alpha = -\frac{4}{3}$, $ctg\,\alpha = -\frac{3}{4}$.

д) Дано: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (I четверть) и $tg\,\alpha = 2,4 = \frac{12}{5}$. В I четверти все функции положительны.
1. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.
2. Найдем $cos\,\alpha$ из тождества $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$:
$cos^2\alpha = \frac{1}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1}{1 + (2,4)^2} = \frac{1}{1 + 5,76} = \frac{1}{6,76}$.
Так как $\alpha$ в I четверти, $cos\,\alpha > 0$, поэтому $cos\,\alpha = \sqrt{\frac{1}{6,76}} = \frac{1}{2,6} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$.
3. Найдем $sin\,\alpha$ из формулы $tg\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha}$:
$sin\,\alpha = tg\,\alpha \cdot cos\,\alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $sin\,\alpha = \frac{12}{13}$, $cos\,\alpha = \frac{5}{13}$, $ctg\,\alpha = \frac{5}{12}$.

е) Дано: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть) и $ctg\,\alpha = -1$. Во II четверти $sin\,\alpha > 0$, $cos\,\alpha < 0$, $tg\,\alpha < 0$.
1. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{1}{ctg\,\alpha} = \frac{1}{-1} = -1$.
2. Найдем $sin\,\alpha$ из тождества $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$:
$sin^2\alpha = \frac{1}{1 + ctg^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-1)^2} = \frac{1}{2}$.
Так как $\alpha$ во II четверти, $sin\,\alpha > 0$, поэтому $sin\,\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Найдем $cos\,\alpha$ из формулы $ctg\,\alpha = \frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha}$:
$cos\,\alpha = ctg\,\alpha \cdot sin\,\alpha = -1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $cos\,\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin\,\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $tg\,\alpha = -1$.

ж) Дано: $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$ (IV четверть) и $tg\,\alpha = -\frac{5}{12}$. В IV четверти $sin\,\alpha < 0$.
1. Найдем $ctg\,\alpha$:
$ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.
2. Найдем $sin\,\alpha$ из тождества $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$:
$sin^2\alpha = \frac{1}{1 + ctg^2\alpha} = \frac{1}{1 + (-\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{25}{169}$.
Так как $\alpha$ в IV четверти, $sin\,\alpha < 0$, поэтому $sin\,\alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$.
Ответ: $sin\,\alpha = -\frac{5}{13}$.

з) Дано: $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть) и $ctg\,\alpha = 1$. В III четверти $cos\,\alpha < 0$.
1. Найдем $tg\,\alpha$:
$tg\,\alpha = \frac{1}{ctg\,\alpha} = \frac{1}{1} = 1$.
2. Найдем $cos\,\alpha$ из тождества $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$:
$cos^2\alpha = \frac{1}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}$.
Так как $\alpha$ в III четверти, $cos\,\alpha < 0$, поэтому $cos\,\alpha = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $cos\,\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.