Номер 8.17, страница 241 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.2. Основные формулы для tgα и ctgα. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.17, страница 241.

8.17 a) Назовите основные формулы для $ \text{tg } \alpha $; для $ \text{ctg } \alpha $. Для каких углов $ \alpha $ они справедливы?

б) Для каких углов $ \alpha $ справедливо равенство $ \text{tg } \alpha \text{ ctg } \alpha = 1 $?

а)

Основная формула для тангенса угла $\alpha$ связывает его с синусом и косинусом этого угла:
$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
Эта формула справедлива, когда ее знаменатель $\cos \alpha$ не равен нулю. Косинус обращается в ноль при углах $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ является любым целым числом. Таким образом, область определения тангенса — это все углы $\alpha$, кроме $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Основная формула для котангенса угла $\alpha$ также выражается через синус и косинус:
$ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
Эта формула справедлива, когда ее знаменатель $\sin \alpha$ не равен нулю. Синус обращается в ноль при углах $\alpha = \pi k$, где $k$ является любым целым числом. Таким образом, область определения котангенса — это все углы $\alpha$, кроме $\alpha = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Основная формула для тангенса — $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, она справедлива при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Основная формула для котангенса — $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, она справедлива при $\alpha \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Равенство $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$ является одним из основных тригонометрических тождеств. Оно справедливо для всех углов $\alpha$, для которых обе его части имеют смысл, то есть для которых одновременно определены и $tg \alpha$, и $ctg \alpha$.
Из пункта а) мы знаем, что:
1. $tg \alpha$ определён при $\cos \alpha \neq 0$, то есть $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2. $ctg \alpha$ определён при $\sin \alpha \neq 0$, то есть $\alpha \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Если оба эти условия выполняются, то произведение можно записать как:
$tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1$.
Следовательно, равенство справедливо для всех углов $\alpha$, для которых одновременно $\sin \alpha \neq 0$ и $\cos \alpha \neq 0$.
Эти два условия можно объединить в одно: угол $\alpha$ не должен быть кратен $\frac{\pi}{2}$. Это можно записать в виде $\alpha \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: Равенство справедливо для всех углов $\alpha$, таких что $\alpha \neq \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.