Номер 8.13, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.13, страница 239.

8.13 Отметьте на оси котангенсов точки, соответствующие числам: $0$; $1$; $-1$; $2$; $-2$; $\sqrt{3}$; $-\sqrt{3}$; $\frac{\sqrt{3}}{3}$; $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Осью котангенсов в тригонометрии называют прямую, которая в стандартной декартовой системе координат задается уравнением $y=1$. Она параллельна оси абсцисс (Ox) и касается единичной окружности в точке $(0, 1)$.

Чтобы отметить на этой оси точку, соответствующую некоторому числу $c$, нужно найти на прямой $y=1$ точку с абсциссой, равной $c$. Таким образом, каждому числу $c$ будет соответствовать точка с координатами $(c, 1)$. Для решения задачи необходимо определить положение каждой такой точки на оси котангенсов.

0

Точка, соответствующая числу 0, имеет координаты $(0, 1)$. Это точка пересечения оси котангенсов с осью ординат (Oy). Эта точка соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$, так как $ctg(\frac{\pi}{2}) = 0$.

1

Точка, соответствующая числу 1, имеет координаты $(1, 1)$. Она находится на оси котангенсов справа от оси Oy на расстоянии 1. Эта точка соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$, так как $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

-1

Точка, соответствующая числу -1, имеет координаты $(-1, 1)$. Она находится на оси котангенсов слева от оси Oy на расстоянии 1. Эта точка соответствует углу $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, так как $ctg(\frac{3\pi}{4}) = -1$.

2

Точка, соответствующая числу 2, имеет координаты $(2, 1)$. Она находится на оси котангенсов справа от оси Oy на расстоянии 2.

-2

Точка, соответствующая числу -2, имеет координаты $(-2, 1)$. Она находится на оси котангенсов слева от оси Oy на расстоянии 2.

$\sqrt{3}$

Точка, соответствующая числу $\sqrt{3}$, имеет координаты $(\sqrt{3}, 1)$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, эта точка находится справа от оси Oy на расстоянии примерно 1.732. Она соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{6}$, так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

$-\sqrt{3}$

Точка, соответствующая числу $-\sqrt{3}$, имеет координаты $(-\sqrt{3}, 1)$. Так как $-\sqrt{3} \approx -1.732$, эта точка находится слева от оси Oy на расстоянии примерно 1.732. Она соответствует углу $\alpha = \frac{5\pi}{6}$, так как $ctg(\frac{5\pi}{6}) = -\sqrt{3}$.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Точка, соответствующая числу $\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$, эта точка находится справа от оси Oy на расстоянии примерно 0.577. Она соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{3}$, так как $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Точка, соответствующая числу $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеет координаты $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$. Так как $-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577$, эта точка находится слева от оси Oy на расстоянии примерно 0.577. Она соответствует углу $\alpha = \frac{2\pi}{3}$, так как $ctg(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: На оси котангенсов (прямой $y=1$) нужно отметить точки со следующими абсциссами: -2, $-\sqrt{3}$, -1, $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, 0, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 1, $\sqrt{3}$, 2. В порядке возрастания их значений (слева направо) они будут располагаться так: -2; $-\sqrt{3} \approx -1.73$; -1; $-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.58$; 0; $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58$; 1; $\sqrt{3} \approx 1.73$; 2.