Номер 8.9, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

8.1. Определение тангенса и котангенса угла. § 8. Тангенс и котангенс угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 8.9, страница 238.

8.9 Отметьте на оси тангенсов точки, соответствующие числам:

$0$; $1$; $-1$; $2$; $-2$; $\sqrt{3}$; $-\sqrt{3}$; $\frac{\sqrt{3}}{3}$; $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ось тангенсов — это вертикальная прямая, которая касается единичной окружности в точке $(1, 0)$. Уравнение этой прямой $x=1$. Значение тангенса угла $\alpha$ равно ординате (координате $y$) точки пересечения конечной стороны угла $\alpha$ (проведенной из начала координат) с этой прямой. Таким образом, чтобы отметить на оси тангенсов точки, соответствующие заданным числам, нужно отметить на вертикальной прямой $x=1$ точки с ординатами, равными этим числам.

Рассмотрим каждую точку:
0: Точка, соответствующая числу 0, имеет координаты $(1, 0)$. Это точка касания оси тангенсов и единичной окружности. Она соответствует углу $\alpha=0$ радиан (или $0^\circ$), так как $\tan(0)=0$.
1: Точка, соответствующая числу 1, имеет координаты $(1, 1)$. Она находится на 1 единицу выше точки $(1, 0)$. Эта точка соответствует углу $\alpha=\frac{\pi}{4}$ радиан (или $45^\circ$), так как $\tan(\frac{\pi}{4})=1$.
-1: Точка, соответствующая числу -1, имеет координаты $(1, -1)$. Она находится на 1 единицу ниже точки $(1, 0)$. Эта точка соответствует углу $\alpha=-\frac{\pi}{4}$ радиан (или $-45^\circ$), так как $\tan(-\frac{\pi}{4})=-1$.
2: Точка, соответствующая числу 2, имеет координаты $(1, 2)$. Она находится на 2 единицы выше точки $(1, 0)$.
-2: Точка, соответствующая числу -2, имеет координаты $(1, -2)$. Она находится на 2 единицы ниже точки $(1, 0)$.
$\sqrt{3}$: Точка, соответствующая числу $\sqrt{3}$, имеет координаты $(1, \sqrt{3})$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, эта точка расположена выше точки 1, но ниже точки 2. Она соответствует углу $\alpha=\frac{\pi}{3}$ радиан (или $60^\circ$), так как $\tan(\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}$.
$-\sqrt{3}$: Точка, соответствующая числу $-\sqrt{3}$, имеет координаты $(1, -\sqrt{3})$. Так как $-\sqrt{3} \approx -1.732$, эта точка расположена ниже точки -1, но выше точки -2. Она соответствует углу $\alpha=-\frac{\pi}{3}$ радиан (или $-60^\circ$), так как $\tan(-\frac{\pi}{3})=-\sqrt{3}$.
$\frac{\sqrt{3}}{3}$: Точка, соответствующая числу $\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеет координаты $(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$, эта точка расположена выше точки 0, но ниже точки 1. Она соответствует углу $\alpha=\frac{\pi}{6}$ радиан (или $30^\circ$), так как $\tan(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$: Точка, соответствующая числу $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, имеет координаты $(1, -\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как $-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577$, эта точка расположена ниже точки 0, но выше точки -1. Она соответствует углу $\alpha=-\frac{\pi}{6}$ радиан (или $-30^\circ$), так как $\tan(-\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

Точки на оси тангенсов (вертикальная прямая $x=1$) располагаются в соответствии с их числовыми значениями. Начало отсчета соответствует числу 0 и находится в точке $(1, 0)$. Положительные числа откладываются вверх, отрицательные — вниз. Для отметки заданных точек необходимо расположить их на этой оси согласно их величине. Порядок точек на оси снизу вверх будет следующим, что соответствует их расположению на числовой прямой:
$-2, -\sqrt{3}, -1, -\frac{\sqrt{3}}{3}, 0, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1, \sqrt{3}, 2$.
Для более точного расположения можно использовать их приблизительные десятичные значения: $-2; \approx -1.732; -1; \approx -0.577; 0; \approx 0.577; 1; \approx 1.732; 2$.