Номер 8.6, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.1. Определение тангенса и котангенса угла - номер 8.6, страница 238.

Условие.

8.6 a) $ \text{tg } 180^{\circ}$;

б) $ \text{tg } 2\pi$;

в) $ \text{ctg } 270^{\circ}$;

г) $ \text{tg } (-\pi)$;

д) $ \text{ctg } (-45^{\circ})$;

е) $ \text{tg } \left(-\frac{\pi}{4}\right)$;

ж) $ \text{ctg } 135^{\circ}$;

з) $ \text{ctg } \left(-\frac{\pi}{3}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) tg 180°
Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$. На единичной окружности углу $180^\circ$ соответствует точка с координатами $(-1, 0)$. Таким образом, $sin(180^\circ) = 0$ и $cos(180^\circ) = -1$. $tg(180^\circ) = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: 0

б) tg 2π
Угол $2\pi$ радиан соответствует полному обороту ($360^\circ$), поэтому его значение совпадает со значением для угла 0. $tg(2\pi) = tg(0)$. На единичной окружности углу 0 радиан соответствует точка с координатами $(1, 0)$. $sin(0) = 0$ и $cos(0) = 1$. $tg(0) = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: 0

в) ctg 270°
Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$. На единичной окружности углу $270^\circ$ (или $\frac{3\pi}{2}$ радиан) соответствует точка с координатами $(0, -1)$. Таким образом, $cos(270^\circ) = 0$ и $sin(270^\circ) = -1$. $ctg(270^\circ) = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: 0

г) tg (–π)
Тангенс является нечетной функцией, то есть $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$. Также тангенс имеет период $\pi$, то есть $tg(\alpha + \pi k) = tg(\alpha)$ для любого целого $k$. Используя периодичность: $tg(-\pi) = tg(-\pi + \pi) = tg(0) = 0$. Или используя свойство нечетности: $tg(-\pi) = -tg(\pi) = -0 = 0$.
Ответ: 0

д) ctg (–45°)
Котангенс является нечетной функцией, то есть $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. $ctg(-45^\circ) = -ctg(45^\circ)$. Значение $ctg(45^\circ)$ является табличным и равно 1. Следовательно, $ctg(-45^\circ) = -1$.
Ответ: –1

е) tg (–π/4)
Тангенс является нечетной функцией: $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$. Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен $45^\circ$. $tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg(\frac{\pi}{4})$. Значение $tg(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно 1. Следовательно, $tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
Ответ: –1

ж) ctg 135°
Используем формулу приведения. Угол $135^\circ$ находится во второй четверти. $ctg(135^\circ) = ctg(180^\circ - 45^\circ)$. Во второй четверти котангенс отрицателен, поэтому $ctg(180^\circ - \alpha) = -ctg(\alpha)$. $ctg(135^\circ) = -ctg(45^\circ) = -1$.
Ответ: –1

з) ctg (–π/3)
Котангенс является нечетной функцией: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Угол $\frac{\pi}{3}$ радиан равен $60^\circ$. $ctg(-\frac{\pi}{3}) = -ctg(\frac{\pi}{3})$. Значение $ctg(\frac{\pi}{3})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$. $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{cos(\frac{\pi}{3})}{sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, $ctg(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $–\frac{\sqrt{3}}{3}$