Номер 8.3, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 8. Тангенс и котангенс угла. 8.1. Определение тангенса и котангенса угла - номер 8.3, страница 238.

Условие.

8.3 а) Если для угла $ \alpha $ существует $ \text{tg} \, \alpha $, то единственный ли он?

б) Если для угла $ \alpha $ существует $ \text{ctg} \, \alpha $, то единственный ли он?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)
Да, если для угла $\alpha$ существует тангенс, то его значение является единственным.

Тангенс угла $\alpha$ по определению является тригонометрической функцией, которая вычисляется как отношение синуса этого угла к его косинусу:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Для любого заданного угла $\alpha$ значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ определяются однозначно. Например, для угла $\alpha = 30^\circ$ существует только одно значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ и только одно значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тангенс $\tg \alpha$ существует, если его знаменатель не равен нулю, то есть $\cos \alpha \neq 0$. Это условие выполняется для всех углов, кроме $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число (например, $90^\circ, 270^\circ$ и т.д.).

Если это условие выполнено, то для нахождения $\tg \alpha$ мы делим одно единственное число ($\sin \alpha$) на другое единственное число ($\cos \alpha$). Результат такого деления всегда будет одним и тем же, то есть единственным числом. Таким образом, тригонометрическая функция тангенс, как и любая другая функция, сопоставляет каждому значению аргумента (углу $\alpha$ из области определения) единственное значение самой функции.

Ответ: да, он единственный.

б)
Да, если для угла $\alpha$ существует котангенс, то его значение также является единственным.

Котангенс угла $\alpha$ по определению является тригонометрической функцией, которая вычисляется как отношение косинуса этого угла к его синусу:
$\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Рассуждения здесь полностью аналогичны случаю с тангенсом. Для любого заданного угла $\alpha$ значения $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ определяются однозначно.

Котангенс $\ctg \alpha$ существует, если его знаменатель не равен нулю, то есть $\sin \alpha \neq 0$. Это условие выполняется для всех углов, кроме $\alpha = \pi k$, где $k$ - любое целое число (например, $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$ и т.д.).

Если это условие выполнено, то для нахождения $\ctg \alpha$ мы делим одно единственное число ($\cos \alpha$) на другое единственное число ($\sin \alpha$). Результат такого деления всегда будет одним и тем же, то есть единственным числом. Таким образом, тригонометрическая функция котангенс сопоставляет каждому значению аргумента (углу $\alpha$ из области определения) единственное значение самой функции.

Ответ: да, он единственный.