Номер 7.102, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.8*. Формулы для арксинуса и арккосинуса. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.102, страница 233.

Вычислите (7.102–7.104):

7.102

а) $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$;

б) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$;

в) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

г) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

д) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

е) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

а)

По определению, арксинус числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) — это такое число (угол) $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.
Для вычисления арксинуса отрицательного числа используется свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
Применим это свойство к данному выражению:
$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2})$
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляя это значение, получаем:
$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

б)

По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) — это такое число (угол) $x$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.
Для вычисления арккосинуса отрицательного числа используется свойство: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
Применим это свойство:
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$
Из таблицы значений мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Следовательно, $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляя это значение, получаем:
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

в)

Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$
Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Тогда $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

г)

Используем свойство для арккосинуса отрицательного числа: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Следовательно, $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Тогда $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

д)

Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$
Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Тогда $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

е)

Используем свойство для арккосинуса отрицательного числа: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Следовательно, $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Тогда $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.