Номер 7.98, страница 231 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.7*. Примеры использования арксинуса и арккосинуса. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.98, страница 231.

7.98 a) $sin \alpha < 1;$

б) $sin \alpha > -1;$

в) $cos \alpha < 1;$

г) $cos \alpha > -1;$

д) $sin \alpha > 1;$

е) $sin \alpha < -1.1;$

ж) $cos \alpha > 2;$

з) $cos \alpha < -1.5;$

а) Решить неравенство $ \sin \alpha < 1 $.

Область значений функции синус — это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, для любого действительного числа $ \alpha $ выполняется двойное неравенство $ -1 \le \sin \alpha \le 1 $.

Значение $ \sin \alpha = 1 $ достигается только в точках $ \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ ( $ \mathbb{Z} $ — множество целых чисел).

Во всех остальных точках значение $ \sin \alpha $ будет строго меньше 1.

Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме тех, где синус равен единице.

Ответ: $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) Решить неравенство $ \sin \alpha > -1 $.

Как и в предыдущем пункте, мы исходим из того, что $ -1 \le \sin \alpha \le 1 $.

Значение $ \sin \alpha = -1 $ достигается только в точках $ \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Во всех остальных точках значение $ \sin \alpha $ будет строго больше -1.

Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме тех, где синус равен минус единице.

Ответ: $ \alpha \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в) Решить неравенство $ \cos \alpha < 1 $.

Область значений функции косинус — это отрезок $ [-1; 1] $. То есть, для любого действительного числа $ \alpha $ выполняется двойное неравенство $ -1 \le \cos \alpha \le 1 $.

Значение $ \cos \alpha = 1 $ достигается только в точках $ \alpha = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Во всех остальных точках значение $ \cos \alpha $ будет строго меньше 1.

Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме тех, где косинус равен единице.

Ответ: $ \alpha \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г) Решить неравенство $ \cos \alpha > -1 $.

Мы знаем, что $ -1 \le \cos \alpha \le 1 $ для любого $ \alpha $.

Значение $ \cos \alpha = -1 $ достигается только в точках $ \alpha = \pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Во всех остальных точках значение $ \cos \alpha $ будет строго больше -1.

Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме тех, где косинус равен минус единице.

Ответ: $ \alpha \neq \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

д) Решить неравенство $ \sin \alpha > 1 $.

Максимальное значение функции $ y = \sin \alpha $ равно 1. Не существует такого значения $ \alpha $, при котором $ \sin \alpha $ был бы больше 1.

Ответ: решений нет.

е) Решить неравенство $ \sin \alpha < -1.1 $.

Минимальное значение функции $ y = \sin \alpha $ равно -1. Не существует такого значения $ \alpha $, при котором $ \sin \alpha $ был бы меньше -1, и тем более меньше -1.1.

Ответ: решений нет.

ж) Решить неравенство $ \cos \alpha > 2 $.

Максимальное значение функции $ y = \cos \alpha $ равно 1. Не существует такого значения $ \alpha $, при котором $ \cos \alpha $ был бы больше 1, и тем более больше 2.

Ответ: решений нет.

з) Решить неравенство $ \cos \alpha < -1.5 $.

Минимальное значение функции $ y = \cos \alpha $ равно -1. Не существует такого значения $ \alpha $, при котором $ \cos \alpha $ был бы меньше -1, и тем более меньше -1.5.

Ответ: решений нет.