Номер 7.92, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.6. Арккосинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.92, страница 224.

7.92 a) $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$, $-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$; б) $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$, $-\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)$;

в) $\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)$, $-\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)$; г) $\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$, $-\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$.

а)

1) Выражение $arccos(\frac{1}{3})$. По определению арккосинуса, это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{3}$. Поскольку $\frac{1}{3}$ не является "табличным" значением косинуса для стандартных углов, данное выражение не упрощается и является конечным ответом.

2) Выражение $-arccos(\frac{1}{3})$ — это число, противоположное по знаку $arccos(\frac{1}{3})$.

Ответ: $arccos(\frac{1}{3})$ и $-arccos(\frac{1}{3})$.

б)

1) Выражение $arccos(\frac{2}{3})$. Это угол в диапазоне $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{2}{3}$. Так как $\frac{2}{3}$ не соответствует "табличным" значениям косинуса, выражение является конечным ответом.

2) Выражение $-arccos(\frac{2}{3})$ — это число, противоположное $arccos(\frac{2}{3})$.

Ответ: $arccos(\frac{2}{3})$ и $-arccos(\frac{2}{3})$.

в)

Для вычисления выражений $arccos(-\frac{3}{5})$ и $-arccos(-\frac{3}{5})$ воспользуемся свойством арккосинуса для отрицательного аргумента: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

1) Вычислим $arccos(-\frac{3}{5})$:
$arccos(-\frac{3}{5}) = \pi - arccos(\frac{3}{5})$.

2) Вычислим $-arccos(-\frac{3}{5})$:
$-arccos(-\frac{3}{5}) = -(\pi - arccos(\frac{3}{5})) = arccos(\frac{3}{5}) - \pi$.

Ответ: $\pi - arccos(\frac{3}{5})$ и $arccos(\frac{3}{5}) - \pi$.

г)

Для вычисления выражений $arccos(-\frac{3}{4})$ и $-arccos(-\frac{3}{4})$ используем то же свойство: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

1) Вычислим $arccos(-\frac{3}{4})$:
$arccos(-\frac{3}{4}) = \pi - arccos(\frac{3}{4})$.

2) Вычислим $-arccos(-\frac{3}{4})$:
$-arccos(-\frac{3}{4}) = -(\pi - arccos(\frac{3}{4})) = arccos(\frac{3}{4}) - \pi$.

Ответ: $\pi - arccos(\frac{3}{4})$ и $arccos(\frac{3}{4}) - \pi$.