Страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.88 а) $arccos 1$;

б) $arccos (-1)$;

в) $arccos 0$;

г) $arccos \frac{1}{2}$;

д) $arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$;

з) $arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

и) $arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

а) Арккосинус числа $a$, обозначаемый как $\arccos a$, — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Таким образом, нам нужно найти угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 1$. Этому условию соответствует угол $\alpha = 0$.
Ответ: $0$.

б) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -1$. Этому условию соответствует угол $\alpha = \pi$.
Ответ: $\pi$.

в) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 0$. Этому условию соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

д) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

е) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

ж) Для вычисления арккосинуса отрицательного числа используется свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$ для $a \in [0, 1]$. В данном случае: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$. Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем: $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

з) Используем свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

и) Используем свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем: $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

7.89 Сравните с числом $0,5\pi$:

a) $\arccos \frac{1}{4}$;

б) $\arccos \left(-\frac{1}{4}\right)$;

в) $\arccos \frac{1}{7}$;

г) $\arccos \left(-\frac{1}{7}\right)$;

д) $\arccos 1$;

е) $\arccos (-1)$.

Для решения этой задачи необходимо сравнить значения различных выражений с функцией арккосинус с числом $0.5\pi$, которое также можно записать как $\frac{\pi}{2}$.

Ключевым свойством, которое мы будем использовать, является то, что функция $y = \arccos(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$.

Также мы знаем, что $\arccos(0) = \frac{\pi}{2} = 0.5\pi$.

Таким образом, сравнение $\arccos(x)$ с $0.5\pi$ эквивалентно сравнению $\arccos(x)$ с $\arccos(0)$.

а) Сравнить $\arccos\frac{1}{4}$ с $0.5\pi$.

Мы сравниваем $\arccos\frac{1}{4}$ с $\arccos(0)$.

Сравним аргументы: $\frac{1}{4} > 0$.

Поскольку функция арккосинус является убывающей, то знак неравенства для значений функции меняется на противоположный:

$\arccos\frac{1}{4} < \arccos(0)$

Следовательно, $\arccos\frac{1}{4} < 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos\frac{1}{4} < 0.5\pi$.

б) Сравнить $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right)$ с $0.5\pi$.

Мы сравниваем $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right)$ с $\arccos(0)$.

Сравним аргументы: $-\frac{1}{4} < 0$.

Так как функция арккосинус убывающая, получаем:

$\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) > \arccos(0)$

Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) > 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) > 0.5\pi$.

в) Сравнить $\arccos\frac{1}{7}$ с $0.5\pi$.

Мы сравниваем $\arccos\frac{1}{7}$ с $\arccos(0)$.

Сравним аргументы: $\frac{1}{7} > 0$.

Так как функция арккосинус убывающая, получаем:

$\arccos\frac{1}{7} < \arccos(0)$

Следовательно, $\arccos\frac{1}{7} < 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos\frac{1}{7} < 0.5\pi$.

г) Сравнить $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$ с $0.5\pi$.

Мы сравниваем $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$ с $\arccos(0)$.

Сравним аргументы: $-\frac{1}{7} < 0$.

Так как функция арккосинус убывающая, получаем:

$\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) > \arccos(0)$

Следовательно, $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) > 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) > 0.5\pi$.

д) Сравнить $\arccos(1)$ с $0.5\pi$.

По определению функции арккосинус, $\arccos(1) = 0$.

Сравниваем $0$ и $0.5\pi$.

Так как $\pi \approx 3.14159$, то $0.5\pi > 0$.

Следовательно, $\arccos(1) < 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos(1) < 0.5\pi$.

е) Сравнить $\arccos(-1)$ с $0.5\pi$.

По определению функции арккосинус, $\arccos(-1) = \pi$.

Сравниваем $\pi$ и $0.5\pi$.

Так как $1 > 0.5$, то $\pi > 0.5\pi$.

Следовательно, $\arccos(-1) > 0.5\pi$.

Ответ: $\arccos(-1) > 0.5\pi$.

7.90 С помощью арккосинуса выразите углы из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, соответствующие отмеченным точкам на единичной окружности (рис. 100, а—в).

Для решения задачи воспользуемся определением косинуса и арккосинуса на единичной окружности. Координата точки на единичной окружности по оси абсцисс (x) равна косинусу угла, соответствующего этой точке. Арккосинус числа $x$ ($\arccos(x)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$.

Нам необходимо найти углы из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что соответствует правой половине единичной окружности (первая и четвертая координатные четверти).

а)

На рисунке 100а отмечены две точки, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, которые имеют одинаковую абсциссу, равную $\frac{1}{2}$. Это означает, что $\cos(\alpha_1) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\alpha_2) = \frac{1}{2}$.

Точка, соответствующая углу $\alpha_1$, находится в первой четверти. Угол из промежутка $[0, \frac{\pi}{2}]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, по определению является $\arccos(\frac{1}{2})$. Этот угол принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\alpha_1 = \arccos(\frac{1}{2})$.

Точка, соответствующая углу $\alpha_2$, находится в четвертой четверти и симметрична точке $\alpha_1$ относительно оси Ox. Это значит, что $\alpha_2 = -\alpha_1$. Угол $-\arccos(\frac{1}{2})$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0)$ и, соответственно, входит в заданный промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{1}{2})$.

Ответ: $\alpha_1 = \arccos(\frac{1}{2})$, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{1}{2})$.

б)

На рисунке 100б отмечены две точки, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, с абсциссой $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $\cos(\alpha_1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\alpha_2) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\alpha_1$ находится в первой четверти. Угол из промежутка $[0, \frac{\pi}{2}]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Этот угол удовлетворяет условию принадлежности промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Значит, $\alpha_1 = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Угол $\alpha_2$ находится в четвертой четверти и симметричен углу $\alpha_1$ относительно оси абсцисс, поэтому $\alpha_2 = -\alpha_1$.

Значит, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Этот угол также принадлежит заданному промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $\alpha_1 = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$, $\alpha_2 = -\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

в)

На рисунке 100в отмечены две точки, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, с абсциссой, равной $a$. Из рисунка видно, что $0 < a < 1$. Таким образом, $\cos(\alpha_1) = a$ и $\cos(\alpha_2) = a$.

Точка $\alpha_1$ расположена в первой четверти. Угол, косинус которого равен $a$, по определению равен $\arccos(a)$. Так как $0 < a < 1$, то $0 < \arccos(a) < \frac{\pi}{2}$, что входит в искомый промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\alpha_1 = \arccos(a)$.

Точка $\alpha_2$ расположена в четвертой четверти и симметрична $\alpha_1$ относительно оси Ox, что означает $\alpha_2 = -\alpha_1$.

Следовательно, $\alpha_2 = -\arccos(a)$. Этот угол также входит в искомый промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $\alpha_1 = \arccos(a)$, $\alpha_2 = -\arccos(a)$.

Постройте углы (7.91–7.92):

7.91 а) $\arccos \frac{1}{3}$, $-\arccos \frac{1}{3}$;

б) $\arccos \frac{1}{4}$, $-\arccos \frac{1}{4}$;

в) $\arccos \frac{4}{5}$, $-\arccos \frac{4}{5}$;

г) $\arccos \frac{3}{4}$, $-\arccos \frac{3}{4}$.

Для построения углов вида $\alpha = \arccos(a)$ и $-\alpha = -\arccos(a)$ используется единичная окружность в декартовой системе координат.

По определению, $\alpha = \arccos(a)$ — это такой угол, что $\cos(\alpha) = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$. На единичной окружности косинус угла — это абсцисса (координата x) точки пересечения конечной стороны угла с окружностью.

Общий алгоритм построения угла $\arccos(a)$:

1. В декартовой системе координат строим единичную окружность, то есть окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=1$.
2. На оси абсцисс (оси Ox) отмечаем точку со значением $a$.
3. Через эту точку проводим вертикальную прямую $x=a$.
4. Эта прямая пересечет единичную окружность. Поскольку для арккосинуса угол находится в диапазоне $[0, \pi]$, мы выбираем точку пересечения в верхней полуплоскости (в I или II квадранте). Обозначим эту точку P.
5. Угол, образованный положительным направлением оси Ox и лучом OP, отсчитанный против часовой стрелки, и есть искомый угол $\arccos(a)$.

Угол $-\arccos(a)$ является симметричным углу $\arccos(a)$ относительно оси Ox. Его конечная сторона будет проходить через точку пересечения прямой $x=a$ с единичной окружностью в нижней полуплоскости (в IV или III квадранте).

а) Требуется построить углы $\arccos\frac{1}{3}$ и $-\arccos\frac{1}{3}$.

1. Строим единичную окружность. На оси Ox отмечаем точку с координатой $x = \frac{1}{3}$.

2. Проводим через эту точку вертикальную прямую $x = \frac{1}{3}$.

3. Эта прямая пересекает верхнюю полуокружность в точке $P_1$ и нижнюю в точке $P_2$. Координаты этих точек: $P_1(\frac{1}{3}, \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2}) = P_1(\frac{1}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3})$ и $P_2(\frac{1}{3}, -\frac{2\sqrt{2}}{3})$.

4. Угол $\angle{XOP_1}$, отсчитанный от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, является углом $\arccos\frac{1}{3}$.

5. Угол, конечная сторона которого проходит через луч $OP_2$, является углом $-\arccos\frac{1}{3}$.

Ответ: Углы строятся на единичной окружности. Для $\arccos\frac{1}{3}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{1}{3}$ с верхней полуокружностью. Для $-\arccos\frac{1}{3}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{1}{3}$ с нижней полуокружностью.

б) Требуется построить углы $\arccos\frac{1}{4}$ и $-\arccos\frac{1}{4}$.

1. Строим единичную окружность. На оси Ox отмечаем точку с координатой $x = \frac{1}{4}$.

2. Проводим через эту точку вертикальную прямую $x = \frac{1}{4}$.

3. Эта прямая пересекает верхнюю полуокружность в точке $P_1$ и нижнюю в точке $P_2$. Координаты этих точек: $P_1(\frac{1}{4}, \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2}) = P_1(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4})$ и $P_2(\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{15}}{4})$.

4. Угол $\angle{XOP_1}$, отсчитанный от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, является углом $\arccos\frac{1}{4}$.

5. Угол, конечная сторона которого проходит через луч $OP_2$, является углом $-\arccos\frac{1}{4}$.

Ответ: Углы строятся на единичной окружности. Для $\arccos\frac{1}{4}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{1}{4}$ с верхней полуокружностью. Для $-\arccos\frac{1}{4}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{1}{4}$ с нижней полуокружностью.

в) Требуется построить углы $\arccos\frac{4}{5}$ и $-\arccos\frac{4}{5}$.

1. Строим единичную окружность. На оси Ox отмечаем точку с координатой $x = \frac{4}{5} = 0.8$.

2. Проводим через эту точку вертикальную прямую $x = \frac{4}{5}$.

3. Эта прямая пересекает верхнюю полуокружность в точке $P_1$ и нижнюю в точке $P_2$. Координаты этих точек: $P_1(\frac{4}{5}, \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}) = P_1(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ и $P_2(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$.

4. Угол $\angle{XOP_1}$, отсчитанный от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, является углом $\arccos\frac{4}{5}$.

5. Угол, конечная сторона которого проходит через луч $OP_2$, является углом $-\arccos\frac{4}{5}$.

Ответ: Углы строятся на единичной окружности. Для $\arccos\frac{4}{5}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{4}{5}$ с верхней полуокружностью (точка с координатами $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$). Для $-\arccos\frac{4}{5}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{4}{5}$ с нижней полуокружностью (точка с координатами $(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$).

г) Требуется построить углы $\arccos\frac{3}{4}$ и $-\arccos\frac{3}{4}$.

1. Строим единичную окружность. На оси Ox отмечаем точку с координатой $x = \frac{3}{4} = 0.75$.

2. Проводим через эту точку вертикальную прямую $x = \frac{3}{4}$.

3. Эта прямая пересекает верхнюю полуокружность в точке $P_1$ и нижнюю в точке $P_2$. Координаты этих точек: $P_1(\frac{3}{4}, \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2}) = P_1(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$ и $P_2(\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$.

4. Угол $\angle{XOP_1}$, отсчитанный от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, является углом $\arccos\frac{3}{4}$.

5. Угол, конечная сторона которого проходит через луч $OP_2$, является углом $-\arccos\frac{3}{4}$.

Ответ: Углы строятся на единичной окружности. Для $\arccos\frac{3}{4}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{3}{4}$ с верхней полуокружностью. Для $-\arccos\frac{3}{4}$ конечная сторона угла проходит через точку пересечения прямой $x = \frac{3}{4}$ с нижней полуокружностью.

7.92 a) $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$, $-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$; б) $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$, $-\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)$;

в) $\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)$, $-\arccos\left(-\frac{3}{5}\right)$; г) $\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$, $-\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$.

а)

1) Выражение $arccos(\frac{1}{3})$. По определению арккосинуса, это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{3}$. Поскольку $\frac{1}{3}$ не является "табличным" значением косинуса для стандартных углов, данное выражение не упрощается и является конечным ответом.

2) Выражение $-arccos(\frac{1}{3})$ — это число, противоположное по знаку $arccos(\frac{1}{3})$.

Ответ: $arccos(\frac{1}{3})$ и $-arccos(\frac{1}{3})$.

б)

1) Выражение $arccos(\frac{2}{3})$. Это угол в диапазоне $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{2}{3}$. Так как $\frac{2}{3}$ не соответствует "табличным" значениям косинуса, выражение является конечным ответом.

2) Выражение $-arccos(\frac{2}{3})$ — это число, противоположное $arccos(\frac{2}{3})$.

Ответ: $arccos(\frac{2}{3})$ и $-arccos(\frac{2}{3})$.

в)

Для вычисления выражений $arccos(-\frac{3}{5})$ и $-arccos(-\frac{3}{5})$ воспользуемся свойством арккосинуса для отрицательного аргумента: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

1) Вычислим $arccos(-\frac{3}{5})$:
$arccos(-\frac{3}{5}) = \pi - arccos(\frac{3}{5})$.

2) Вычислим $-arccos(-\frac{3}{5})$:
$-arccos(-\frac{3}{5}) = -(\pi - arccos(\frac{3}{5})) = arccos(\frac{3}{5}) - \pi$.

Ответ: $\pi - arccos(\frac{3}{5})$ и $arccos(\frac{3}{5}) - \pi$.

г)

Для вычисления выражений $arccos(-\frac{3}{4})$ и $-arccos(-\frac{3}{4})$ используем то же свойство: $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.

1) Вычислим $arccos(-\frac{3}{4})$:
$arccos(-\frac{3}{4}) = \pi - arccos(\frac{3}{4})$.

2) Вычислим $-arccos(-\frac{3}{4})$:
$-arccos(-\frac{3}{4}) = -(\pi - arccos(\frac{3}{4})) = arccos(\frac{3}{4}) - \pi$.

Ответ: $\pi - arccos(\frac{3}{4})$ и $arccos(\frac{3}{4}) - \pi$.