Номер 7.88, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.6. Арккосинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.88, страница 224.

7.88 а) $arccos 1$;

б) $arccos (-1)$;

в) $arccos 0$;

г) $arccos \frac{1}{2}$;

д) $arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$;

з) $arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

и) $arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

а) Арккосинус числа $a$, обозначаемый как $\arccos a$, — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Таким образом, нам нужно найти угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 1$. Этому условию соответствует угол $\alpha = 0$.
Ответ: $0$.

б) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -1$. Этому условию соответствует угол $\alpha = \pi$.
Ответ: $\pi$.

в) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 0$. Этому условию соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

д) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

е) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

ж) Для вычисления арккосинуса отрицательного числа используется свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$ для $a \in [0, 1]$. В данном случае: $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$. Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем: $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

з) Используем свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

и) Используем свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем: $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.