Номер 7.86, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.6. Арккосинус - номер 7.86, страница 223.

Условие.

7.86 Имеет ли смысл запись:

а) arccos $\frac{\pi}{2}$;

б) arccos $\frac{\pi}{3}$;

в) arccos $\frac{\pi}{4}$;

г) arccos $\pi$;

д) arccos $(-\frac{\pi}{2})$;

е) arccos $(-\frac{\pi}{3})$;

ж) arccos $(-\frac{3}{4})$;

з) arccos $(\frac{\sqrt{5}}{4})$;

и) arccos $(-\frac{\sqrt{17}}{4})$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, имеет ли смысл запись $arccos(a)$, необходимо проверить, принадлежит ли значение $a$ области определения функции арккосинус. Область определения функции $y = arccos(x)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Таким образом, запись имеет смысл, если $-1 \le a \le 1$.

а) $arccos \frac{\pi}{2}$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\pi}{2} \le 1$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$. $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$. Поскольку $1,57 > 1$, аргумент $\frac{\pi}{2}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

б) $arccos \frac{\pi}{3}$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\pi}{3} \le 1$. $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047$. Поскольку $1,047 > 1$, аргумент $\frac{\pi}{3}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

в) $arccos \frac{\pi}{4}$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\pi}{4} \le 1$. $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14159}{4} \approx 0,785$. Поскольку $-1 \le 0,785 \le 1$, аргумент $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись имеет смысл.

г) $arccos \pi$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \pi \le 1$. $\pi \approx 3,14159$. Поскольку $3,14159 > 1$, аргумент $\pi$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

д) $arccos \left(-\frac{\pi}{2}\right)$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le -\frac{\pi}{2} \le 1$. $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$. Поскольку $-1,57 < -1$, аргумент $-\frac{\pi}{2}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

е) $arccos \left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le -\frac{\pi}{3} \le 1$. $-\frac{\pi}{3} \approx -1,047$. Поскольку $-1,047 < -1$, аргумент $-\frac{\pi}{3}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

ж) $arccos \left(-\frac{3}{4}\right)$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le -\frac{3}{4} \le 1$. $-\frac{3}{4} = -0,75$. Поскольку $-1 \le -0,75 \le 1$, аргумент $-\frac{3}{4}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись имеет смысл.

з) $arccos \left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\sqrt{5}}{4} \le 1$. Для этого сравним значение $\frac{\sqrt{5}}{4}$ с 1. Поскольку $4 = \sqrt{16}$, а $5 < 16$, то $\sqrt{5} < \sqrt{16} = 4$. Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{4} < 1$. Также очевидно, что $\frac{\sqrt{5}}{4} > 0 > -1$. Таким образом, $-1 \le \frac{\sqrt{5}}{4} \le 1$, и аргумент принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись имеет смысл.

и) $arccos \left(-\frac{\sqrt{17}}{4}\right)$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le -\frac{\sqrt{17}}{4} \le 1$. Сравним модуль аргумента с 1: $|-\frac{\sqrt{17}}{4}| = \frac{\sqrt{17}}{4}$. Поскольку $4 = \sqrt{16}$, а $17 > 16$, то $\sqrt{17} > \sqrt{16} = 4$. Следовательно, $\frac{\sqrt{17}}{4} > 1$. Это означает, что $-\frac{\sqrt{17}}{4} < -1$, и аргумент не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.