Страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.84° Назовите угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен:

а) $1$;

б) $-1$;

в) $0$;

г) $\frac{1}{2}$;

д) $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 1$. Решение этого уравнения эквивалентно нахождению значения арккосинуса от 1, то есть $\alpha = \arccos(1)$. По определению, арккосинус числа — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен этому числу. На единичной окружности косинус (координата по оси x) равен 1 в точке, соответствующей углу $0$ радиан. Этот угол принадлежит заданному промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $0$.

б) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -1$. Необходимо найти $\alpha = \arccos(-1)$. На единичной окружности косинус равен $-1$ в точке, соответствующей углу $\pi$ радиан. Этот угол принадлежит заданному промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\pi$.

в) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 0$. Необходимо найти $\alpha = \arccos(0)$. На единичной окружности косинус равен 0 в точках, соответствующих углам $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ (а также другим углам, отличающимся от них на целое число оборотов). Из всех возможных решений только угол $\frac{\pi}{2}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$. Необходимо найти $\alpha = \arccos(\frac{1}{2})$. Это известное табличное значение. Угол в первой четверти, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $\frac{\pi}{3}$. Этот угол принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

д) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Необходимо найти $\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Поскольку значение косинуса отрицательное, искомый угол находится во второй четверти (так как рассматривается промежуток $[0; \pi]$). Для нахождения угла можно использовать свойство арккосинуса: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Угол $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

е) Требуется найти угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Необходимо найти $\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Так как значение косинуса отрицательное, угол находится во второй четверти. Используем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Угол $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

7.85° Что называют арккосинусом числа $a$? Для каких $a$ существует $\arccos a$, для каких нет?

Что называют арккосинусом числа a?

Арккосинусом числа $a$ (обозначается $\arccos a$) называют такое число $\alpha$, которое удовлетворяет одновременно двум условиям:
1) косинус этого числа равен $a$, то есть $\cos \alpha = a$;
2) это число принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то есть $0 \le \alpha \le \pi$.

Ограничение на принадлежность отрезку $[0; \pi]$ вводится для того, чтобы арккосинус был функцией, то есть чтобы каждому допустимому значению $a$ соответствовало единственное значение $\arccos a$. Функция $y = \cos x$ является периодической, и без этого ограничения уравнение $\cos x = a$ имело бы бесконечное множество решений. На отрезке $[0; \pi]$ функция косинуса монотонно убывает и принимает все свои значения из отрезка $[-1, 1]$ ровно по одному разу, что позволяет корректно определить для нее единственную обратную функцию.

Ответ: Арккосинусом числа $a$ называется такое число $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos \alpha = a$.

Для каких a существует arccos a, для каких нет?

Выражение $\arccos a$ существует (определено) не для любого числа $a$. Это связано с тем, что арккосинус является функцией, обратной к косинусу.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции. Областью значений функции $y = \cos x$ является отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что косинус любого действительного угла может принимать значения только в пределах от $-1$ до $1$ включительно.

Поскольку по определению $\arccos a$ — это угол, косинус которого равен $a$, то само число $a$ должно быть значением, которое может принимать косинус. Таким образом, выражение $\arccos a$ существует только в том случае, если $a$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Математически это записывается как $|a| \le 1$ или $-1 \le a \le 1$.

Если же значение $a$ выходит за пределы этого отрезка, то есть $a > 1$ или $a < -1$, то не существует действительного угла, косинус которого был бы равен $a$. Следовательно, для таких $a$ арккосинус не существует (не определен в области действительных чисел).

Ответ: Арккосинус числа $a$ существует при $a \in [-1; 1]$ и не существует при $a < -1$ или $a > 1$.

7.86 Имеет ли смысл запись:

а) arccos $\frac{\pi}{2}$;

б) arccos $\frac{\pi}{3}$;

в) arccos $\frac{\pi}{4}$;

г) arccos $\pi$;

д) arccos $(-\frac{\pi}{2})$;

е) arccos $(-\frac{\pi}{3})$;

ж) arccos $(-\frac{3}{4})$;

з) arccos $(\frac{\sqrt{5}}{4})$;

и) arccos $(-\frac{\sqrt{17}}{4})$?

Чтобы определить, имеет ли смысл запись $arccos(a)$, необходимо проверить, принадлежит ли значение $a$ области определения функции арккосинус. Область определения функции $y = arccos(x)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Таким образом, запись имеет смысл, если $-1 \le a \le 1$.

а) $arccos \frac{\pi}{2}$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\pi}{2} \le 1$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$. $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$. Поскольку $1,57 > 1$, аргумент $\frac{\pi}{2}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

б) $arccos \frac{\pi}{3}$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\pi}{3} \le 1$. $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047$. Поскольку $1,047 > 1$, аргумент $\frac{\pi}{3}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

в) $arccos \frac{\pi}{4}$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\pi}{4} \le 1$. $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14159}{4} \approx 0,785$. Поскольку $-1 \le 0,785 \le 1$, аргумент $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись имеет смысл.

г) $arccos \pi$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \pi \le 1$. $\pi \approx 3,14159$. Поскольку $3,14159 > 1$, аргумент $\pi$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

д) $arccos \left(-\frac{\pi}{2}\right)$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le -\frac{\pi}{2} \le 1$. $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$. Поскольку $-1,57 < -1$, аргумент $-\frac{\pi}{2}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

е) $arccos \left(-\frac{\pi}{3}\right)$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le -\frac{\pi}{3} \le 1$. $-\frac{\pi}{3} \approx -1,047$. Поскольку $-1,047 < -1$, аргумент $-\frac{\pi}{3}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

ж) $arccos \left(-\frac{3}{4}\right)$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le -\frac{3}{4} \le 1$. $-\frac{3}{4} = -0,75$. Поскольку $-1 \le -0,75 \le 1$, аргумент $-\frac{3}{4}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись имеет смысл.

з) $arccos \left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\sqrt{5}}{4} \le 1$. Для этого сравним значение $\frac{\sqrt{5}}{4}$ с 1. Поскольку $4 = \sqrt{16}$, а $5 < 16$, то $\sqrt{5} < \sqrt{16} = 4$. Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{4} < 1$. Также очевидно, что $\frac{\sqrt{5}}{4} > 0 > -1$. Таким образом, $-1 \le \frac{\sqrt{5}}{4} \le 1$, и аргумент принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись имеет смысл.

и) $arccos \left(-\frac{\sqrt{17}}{4}\right)$

Проверим, выполняется ли условие $-1 \le -\frac{\sqrt{17}}{4} \le 1$. Сравним модуль аргумента с 1: $|-\frac{\sqrt{17}}{4}| = \frac{\sqrt{17}}{4}$. Поскольку $4 = \sqrt{16}$, а $17 > 16$, то $\sqrt{17} > \sqrt{16} = 4$. Следовательно, $\frac{\sqrt{17}}{4} > 1$. Это означает, что $-\frac{\sqrt{17}}{4} < -1$, и аргумент не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: запись не имеет смысла.

Вычислите (7.87–7.88):

7.87

a) $\cos \left(\arccos \left(\frac{1}{2}\right)\right)$;

б) $\cos \left(\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$;

в) $\cos \left(\arccos \left(\frac{1}{3}\right)\right)$;

г) $\cos \left(\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$;

д) $\cos (\arccos 0,7)$;

е) $\cos (\arccos (-0,7)).$

Для решения данных задач используется основное свойство арккосинуса. По определению, арккосинус числа a (обозначается $arccos(a)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен a. Это можно записать так: если $arccos(a) = \alpha$, то $cos(\alpha) = a$.

Отсюда следует основное тригонометрическое тождество: $cos(arccos(a)) = a$. Это тождество верно для всех значений a, для которых определен арккосинус, то есть для $a \in [-1, 1]$. Все числа в примерах принадлежат этому промежутку, поэтому для каждого из них можно применить это тождество.

а) $cos\left(arccos\frac{1}{2}\right)$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$, тождество справедливо.

$cos\left(arccos\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $cos\left(arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = -\frac{1}{2}$. Поскольку $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$, тождество справедливо.

$cos\left(arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) $cos\left(arccos\frac{1}{3}\right)$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = \frac{1}{3}$. Поскольку $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$, тождество справедливо.

$cos\left(arccos\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) $cos\left(arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = -\frac{1}{3}$. Поскольку $-1 \le -\frac{1}{3} \le 1$, тождество справедливо.

$cos\left(arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

д) $cos(arccos(0,7))$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = 0,7$. Поскольку $-1 \le 0,7 \le 1$, тождество справедливо.

$cos(arccos(0,7)) = 0,7$.

Ответ: $0,7$.

е) $cos(arccos(-0,7))$

Применяем тождество $cos(arccos(a)) = a$ при $a = -0,7$. Поскольку $-1 \le -0,7 \le 1$, тождество справедливо.

$cos(arccos(-0,7)) = -0,7$.

Ответ: $-0,7$.