Номер 7.85, страница 223 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.6. Арккосинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.85, страница 223.

7.85° Что называют арккосинусом числа $a$? Для каких $a$ существует $\arccos a$, для каких нет?

Что называют арккосинусом числа a?

Арккосинусом числа $a$ (обозначается $\arccos a$) называют такое число $\alpha$, которое удовлетворяет одновременно двум условиям:
1) косинус этого числа равен $a$, то есть $\cos \alpha = a$;
2) это число принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то есть $0 \le \alpha \le \pi$.

Ограничение на принадлежность отрезку $[0; \pi]$ вводится для того, чтобы арккосинус был функцией, то есть чтобы каждому допустимому значению $a$ соответствовало единственное значение $\arccos a$. Функция $y = \cos x$ является периодической, и без этого ограничения уравнение $\cos x = a$ имело бы бесконечное множество решений. На отрезке $[0; \pi]$ функция косинуса монотонно убывает и принимает все свои значения из отрезка $[-1, 1]$ ровно по одному разу, что позволяет корректно определить для нее единственную обратную функцию.

Ответ: Арккосинусом числа $a$ называется такое число $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos \alpha = a$.

Для каких a существует arccos a, для каких нет?

Выражение $\arccos a$ существует (определено) не для любого числа $a$. Это связано с тем, что арккосинус является функцией, обратной к косинусу.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции. Областью значений функции $y = \cos x$ является отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что косинус любого действительного угла может принимать значения только в пределах от $-1$ до $1$ включительно.

Поскольку по определению $\arccos a$ — это угол, косинус которого равен $a$, то само число $a$ должно быть значением, которое может принимать косинус. Таким образом, выражение $\arccos a$ существует только в том случае, если $a$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Математически это записывается как $|a| \le 1$ или $-1 \le a \le 1$.

Если же значение $a$ выходит за пределы этого отрезка, то есть $a > 1$ или $a < -1$, то не существует действительного угла, косинус которого был бы равен $a$. Следовательно, для таких $a$ арккосинус не существует (не определен в области действительных чисел).

Ответ: Арккосинус числа $a$ существует при $a \in [-1; 1]$ и не существует при $a < -1$ или $a > 1$.