Номер 7.78, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.5. Арксинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.78, страница 219.

Вычислите (7.78–7.79):

7.78 a) $ \sin \left( \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) \right); $

б) $ \sin \left( \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) \right); $

в) $ \sin \left( \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) \right); $

г) $ \sin \left( \arcsin \left( -\frac{1}{3} \right) \right); $

д) $ \sin \left( \arcsin \left( 0,3 \right) \right); $

е) $ \sin \left( \arcsin \left( -0,3 \right) \right). $

Для решения всех пунктов этого задания используется основное свойство функции арксинус. По определению, арксинус числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) — это такое число (угол) $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

Из этого определения напрямую следует тождество: $\sin(\arcsin a) = a$.

Это тождество справедливо для любого числа $a$, которое находится в области определения арксинуса, то есть при $a \in [-1; 1]$. Во всех представленных примерах аргумент арксинуса удовлетворяет этому условию, поэтому мы можем напрямую применить данное тождество для вычислений.

а) В выражении $\sin(\arcsin \frac{1}{2})$ имеем $a = \frac{1}{2}$. Так как $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ применимо. Следовательно: $\sin(\arcsin \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) В выражении $\sin(\arcsin (-\frac{1}{2}))$ имеем $a = -\frac{1}{2}$. Так как $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ выполняется. Следовательно: $\sin(\arcsin (-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) В выражении $\sin(\arcsin \frac{1}{3})$ имеем $a = \frac{1}{3}$. Так как $|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ применимо. Таким образом: $\sin(\arcsin \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) В выражении $\sin(\arcsin (-\frac{1}{3}))$ имеем $a = -\frac{1}{3}$. Так как $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ выполняется. Таким образом: $\sin(\arcsin (-\frac{1}{3})) = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

д) В выражении $\sin(\arcsin 0,3)$ имеем $a = 0,3$. Так как $|0,3| = 0,3 \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ применимо. Отсюда: $\sin(\arcsin 0,3) = 0,3$.
Ответ: $0,3$.

е) В выражении $\sin(\arcsin (-0,3))$ имеем $a = -0,3$. Так как $|-0,3| = 0,3 \le 1$, тождество $\sin(\arcsin a) = a$ выполняется. Отсюда: $\sin(\arcsin (-0,3)) = -0,3$.
Ответ: $-0,3$.