Номер 7.75, страница 219 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.5. Арксинус. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.75, страница 219.

7.75 Назовите угол из промежутка $[-½\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен:

а) 1;

б) -1;

в) 0;

г) $ \frac{1}{2} $;

д) $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

е) $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

а) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1. Это равносильно решению уравнения $\sin(\alpha) = 1$ на указанном промежутке. По определению, такой угол является арксинусом числа 1: $\alpha = \arcsin(1)$. Единственным углом в этом промежутке, удовлетворяющим условию, является $\frac{\pi}{2}$. Данный угол принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен -1. Решаем уравнение $\sin(\alpha) = -1$. Искомый угол — это $\alpha = \arcsin(-1)$. Учитывая, что арксинус является нечетной функцией ($\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$), получаем $\alpha = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$. Угол $-\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

в) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 0. Решаем уравнение $\sin(\alpha) = 0$. Искомый угол — это $\alpha = \arcsin(0)$. Единственный угол на заданном промежутке, синус которого равен нулю, — это 0. Угол $0$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Ответ: $0$.

г) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Решаем уравнение $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$. Искомый угол — это $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2})$. Это известное табличное значение: $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Проверяем принадлежность промежутку: $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$, что является верным. Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

д) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решаем уравнение $\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Искомый угол — это $\alpha = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Используя свойство нечетности арксинуса, имеем $\alpha = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$. Проверяем принадлежность промежутку: $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$, что является верным. Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

е) Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решаем уравнение $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Искомый угол — это $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это известное табличное значение: $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Проверяем принадлежность промежутку: $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$, что является верным. Ответ: $\frac{\pi}{3}$.