Номер 7.74, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.74, страница 216.

Условие.

7.74 Постройте угол $\alpha$ из промежутка $0 \le \alpha \le \pi$, косинус которого равен:

a) $0$;

б) $\frac{1}{2}$;

в) $-\frac{1}{2}$;

г) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

д) $-\frac{1}{3}$;

е) $\frac{2}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для построения угла $α$ из промежутка $0 \le α \le π$ по известному значению его косинуса, мы используем единичную окружность. Алгоритм построения следующий:

1. В декартовой системе координат $xOy$ строим окружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом $R=1$. Такая окружность называется единичной.
2. По определению, косинус угла $α$ на единичной окружности равен абсциссе (координате $x$) точки $P$, которая является концом радиус-вектора, повернутого на угол $α$ от положительного направления оси $Ox$.
3. На оси абсцисс $Ox$ отмечаем точку $C$ с координатой, равной данному значению косинуса.
4. Через точку $C$ проводим прямую, перпендикулярную оси $Ox$.
5. Эта прямая пересечет единичную окружность. Так как по условию угол $α$ находится в промежутке $0 \le α \le π$, нас интересует точка пересечения $P$, расположенная в верхней полуплоскости (I и II координатные четверти).
6. Искомый угол $α$ — это угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$.

а) Построить угол $α$, если $cos(α) = 0$.

На оси $Ox$ отмечаем точку с абсциссой $x=0$. Эта точка совпадает с началом координат $O$. Проводим через нее вертикальную прямую, которая совпадает с осью $Oy$. Эта прямая пересекает верхнюю часть единичной окружности в точке $P$ с координатами $(0, 1)$. Угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ равен $90°$.

Ответ: $α = \frac{π}{2}$.

б) Построить угол $α$, если $cos(α) = \frac{1}{2}$.

На положительной части оси $Ox$ отмечаем точку $C$ с абсциссой $x = \frac{1}{2}$ (середина радиуса $OA$, где $A(1,0)$). Через точку $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью в верхней полуплоскости. Получаем точку $P$. Так как $cos(α) > 0$, угол $α$ находится в I четверти. Соединяем точку $P$ с началом координат. Угол $AOP$ является искомым углом. Это известный табличный угол.

Ответ: $α = \frac{π}{3}$.

в) Построить угол $α$, если $cos(α) = -\frac{1}{2}$.

На отрицательной части оси $Ox$ отмечаем точку $C$ с абсциссой $x = -\frac{1}{2}$. Через точку $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью в верхней полуплоскости. Получаем точку $P$. Так как $cos(α) < 0$, угол $α$ находится во II четверти. Угол $AOP$, отсчитанный от положительного направления оси $Ox$, является искомым углом.

Ответ: $α = \frac{2π}{3}$.

г) Построить угол $α$, если $cos(α) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На положительной части оси $Ox$ отмечаем точку $C$ с абсциссой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (приблизительно $0.87$). Через точку $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью в верхней полуплоскости в точке $P$. Угол $α$ находится в I четверти. Угол $AOP$ является искомым углом. Это известный табличный угол.

Ответ: $α = \frac{π}{6}$.

д) Построить угол $α$, если $cos(α) = -\frac{1}{3}$.

На отрицательной части оси $Ox$ отмечаем точку $C$ с абсциссой $x = -\frac{1}{3}$. Для этого единичный отрезок на отрицательной полуоси делим на три равные части и берем первую отметку от начала координат. Через точку $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью в верхней полуплоскости в точке $P$. Угол $α$ находится во II четверти. Угол $AOP$ и есть искомый угол.

Ответ: Построенный угол $α = arccos(-\frac{1}{3})$.

е) Построить угол $α$, если $cos(α) = \frac{2}{3}$.

На положительной части оси $Ox$ отмечаем точку $C$ с абсциссой $x = \frac{2}{3}$. Для этого единичный отрезок $OA$ делим на три равные части и берем отметку, соответствующую двум частям от начала координат. Через точку $C$ проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью в верхней полуплоскости в точке $P$. Угол $α$ находится в I четверти. Угол $AOP$ и есть искомый угол.

Ответ: Построенный угол $α = arccos(\frac{2}{3})$.