Номер 7.67, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.67, страница 215.

7.67 а) $cos 1,6\pi$ и $cos 1,68\pi$;

б) $sin 4,5$ и $0$;

в) $cos 5,1\pi$ и $cos 5\pi$;

г) $sin 1$ и $cos 1$.

а) Для того чтобы сравнить $\cos 1,6\pi$ и $\cos 1,68\pi$, рассмотрим поведение функции $y = \cos x$. Оба угла, $1,6\pi$ и $1,68\pi$, находятся в промежутке от $1,5\pi$ до $2\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти. На промежутке $[\pi, 2\pi]$ функция $y = \cos x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $1,6\pi < 1,68\pi$, из свойства возрастания функции на данном промежутке следует, что $\cos 1,6\pi < \cos 1,68\pi$.

Ответ: $\cos 1,6\pi < \cos 1,68\pi$

б) Чтобы сравнить $\sin 4,5$ и $0$, нужно определить знак синуса для угла $4,5$ радиана. Для этого оценим, в какой четверти находится данный угол. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получаем: $\pi \approx 3,14$ и $1,5\pi \approx 1,5 \cdot 3,14 = 4,71$. Так как $\pi < 4,5 < 1,5\pi$, угол $4,5$ радиана лежит в третьей координатной четверти. В третьей четверти значения функции синус отрицательны. Любое отрицательное число меньше нуля, следовательно, $\sin 4,5 < 0$.

Ответ: $\sin 4,5 < 0$

в) Сравним $\cos 5,1\pi$ и $\cos 5\pi$. Воспользуемся периодичностью функции косинус, период которой равен $2\pi$.
$\cos 5\pi = \cos(4\pi + \pi) = \cos \pi = -1$.
Рассмотрим аргументы $5\pi$ и $5,1\pi$. Оба угла можно рассматривать на промежутке $[5\pi, 6\pi]$. На этом промежутке, как и на промежутке $[\pi, 2\pi]$, функция $y = \cos x$ возрастает. Так как $5\pi < 5,1\pi$, то и значения функции будут находиться в том же соотношении: $\cos 5\pi < \cos 5,1\pi$.

Ответ: $\cos 5,1\pi > \cos 5\pi$

г) Для сравнения $\sin 1$ и $\cos 1$ (угол $1$ дан в радианах), определим, в какой четверти он находится. Поскольку $0 < 1 < \pi/2$ (так как $\pi/2 \approx 1,57$), угол в $1$ радиан расположен в первой четверти, где и синус, и косинус положительны. В первой четверти $\sin x = \cos x$ при $x = \pi/4$. Оценим значение $\pi/4 \approx 3,14/4 = 0,785$. Мы видим, что $1 > \pi/4$. На промежутке от $\pi/4$ до $\pi/2$ линия синуса на тригонометрической окружности проходит выше линии косинуса, что означает $\sin x > \cos x$ для $x \in (\pi/4, \pi/2)$. Так как $1$ радиан попадает в этот интервал, то $\sin 1 > \cos 1$.

Ответ: $\sin 1 > \cos 1$