Номер 7.60, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.60, страница 215.

7.60 Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\sin \alpha = 1 + k$, то какие значения может принимать $k$? Определите $\cos \alpha$.

Какие значения может принимать k?

Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это соответствует первой четверти единичной окружности. Для всех углов в этой четверти значение синуса строго больше 0 и строго меньше 1. Таким образом, мы имеем неравенство:

$0 < \sin \alpha < 1$

В задаче дано, что $\sin \alpha = 1 + k$. Подставим это выражение в наше неравенство:

$0 < 1 + k < 1$

Теперь решим это двойное неравенство относительно $k$. Для этого вычтем 1 из всех трех частей неравенства:

$0 - 1 < (1 + k) - 1 < 1 - 1$

$-1 < k < 0$

Таким образом, $k$ может принимать любые значения в интервале от -1 до 0, не включая концы интервала.

Ответ: $k \in (-1, 0)$.

Определите cos α.

Для нахождения $\cos \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Выразим из него $\cos^2 \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), значение его косинуса положительно. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень, взяв знак плюс:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$

Теперь подставим известное нам выражение $\sin \alpha = 1 + k$:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - (1 + k)^2}$

Раскроем скобки и упростим подкоренное выражение:

$1 - (1 + k)^2 = 1 - (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot k + k^2) = 1 - (1 + 2k + k^2) = 1 - 1 - 2k - k^2 = -2k - k^2$

Таким образом, мы получаем окончательное выражение для $\cos \alpha$:

$\cos \alpha = \sqrt{-2k - k^2}$

Это выражение имеет смысл, так как для найденного диапазона $-1 < k < 0$ подкоренное выражение $-k(2+k)$ всегда положительно.

Ответ: $\cos \alpha = \sqrt{-2k - k^2}$.