Номер 7.54, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.54, страница 214.

7.54 Вычислите $\sin \alpha$, если:

a) $\cos \alpha = \frac{1}{4}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

а) Для вычисления $sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
Из этого тождества выражаем $sin \alpha$: $sin \alpha = \pm \sqrt{1 - cos^2 \alpha}$.
Дано, что $cos \alpha = \frac{1}{4}$. Подставляем это значение в формулу:
$sin \alpha = \pm \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \pm \sqrt{\frac{16 - 1}{16}} = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. В этой четверти значения синуса положительны ($sin \alpha > 0$). Поэтому выбираем значение со знаком плюс.
Ответ: $sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

б) Используем то же основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, из которого $sin \alpha = \pm \sqrt{1 - cos^2 \alpha}$.
Дано, что $cos \alpha = -\frac{1}{3}$. Подставляем это значение в формулу:
$sin \alpha = \pm \sqrt{1 - (-\frac{1}{3})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \pm \sqrt{\frac{9 - 1}{9}} = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти значения синуса отрицательны ($sin \alpha < 0$). Поэтому выбираем значение со знаком минус.
Ответ: $sin \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.