Номер 7.51, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.51, страница 214.

Условие.

Существует ли такой угол $\alpha$, для которого (7.51–7.52):

7.51 a) $\sin \alpha = -1, \cos \alpha = \frac{3}{5}$;

б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin \alpha = \frac{3}{5}, \cos \alpha = -\frac{4}{5}$;

г) $\sin \alpha = -\frac{12}{13}, \cos \alpha = -\frac{5}{13}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, существует ли такой угол $\alpha$, необходимо проверить, удовлетворяют ли данные значения синуса и косинуса основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Если равенство выполняется, то такой угол существует. Если нет — не существует.

а) $\sin\alpha = -1$, $\cos\alpha = \frac{3}{5}$

Проверим выполнение тождества, подставив в него данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (-1)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} + \frac{9}{25} = \frac{34}{25}$

Результат не равен 1, так как $\frac{34}{25} \neq 1$. Следовательно, такой угол не существует.

Ответ: не существует.

б) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Проверим выполнение тождества, подставив в него данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Равенство $1 = 1$ выполняется. Следовательно, такой угол существует. Например, это угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: существует.

в) $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$

Проверим выполнение тождества, подставив в него данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{9+16}{25} = \frac{25}{25} = 1$

Равенство $1 = 1$ выполняется. Следовательно, такой угол существует.

Ответ: существует.

г) $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$, $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$

Проверим выполнение тождества, подставив в него данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{12}{13}\right)^2 + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{144+25}{169} = \frac{169}{169} = 1$

Равенство $1 = 1$ выполняется. Следовательно, такой угол существует.

Ответ: существует.