Номер 7.46, страница 211 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.46, страница 211.

Упростите выражение (7.46—7.47):

7.46 а) $3 \cos 0 + 2 \sin \frac{\pi}{2} - 4 \cos \frac{\pi}{2} - 7 \sin (-\pi)$;

б) $\cos \frac{\pi}{2} - 3 \sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right) + 4 \cos (-2\pi) - 2 \sin (-3\pi)$.

а) Для упрощения выражения $3 \cos 0 + 2 \sin \frac{\pi}{2} - 4 \cos \frac{\pi}{2} - 7 \sin(-\pi)$ воспользуемся известными значениями тригонометрических функций для стандартных углов и свойствами четности/нечетности функций.
Нам известны следующие значения:
$\cos 0 = 1$
$\sin \frac{\pi}{2} = 1$
$\cos \frac{\pi}{2} = 0$
Функция синус является нечетной, что означает $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому $\sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 - 7 \cdot 0 = 3 + 2 - 0 - 0 = 5$.
Ответ: 5

б) Для упрощения выражения $\cos \frac{\pi}{2} - 3 \sin(-\frac{3\pi}{4}) + 4 \cos(-2\pi) - 2 \sin(-3\pi)$ вычислим значение каждого слагаемого.
1. Значение первого слагаемого: $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.
2. Для второго слагаемого используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$:
$-3 \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -3 (-\sin(\frac{3\pi}{4})) = 3 \sin(\frac{3\pi}{4})$.
Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти. Используя формулу приведения, получим: $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, второе слагаемое равно $3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
3. Для третьего слагаемого используем свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$ и его периодичность (период $2\pi$):
$4 \cos(-2\pi) = 4 \cos(2\pi) = 4 \cos(0) = 4 \cdot 1 = 4$.
4. Для четвертого слагаемого используем свойство нечетности синуса и его периодичность:
$-2 \sin(-3\pi) = -2(-\sin(3\pi)) = 2 \sin(3\pi) = 2 \sin(\pi + 2\pi) = 2 \sin(\pi) = 2 \cdot 0 = 0$.
Теперь сложим все полученные значения:
$0 + \frac{3\sqrt{2}}{2} + 4 - 0 = 4 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $4 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$