Страница 211 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (7.46—7.47):

7.46 а) $3 \cos 0 + 2 \sin \frac{\pi}{2} - 4 \cos \frac{\pi}{2} - 7 \sin (-\pi)$;

б) $\cos \frac{\pi}{2} - 3 \sin \left(-\frac{3\pi}{4}\right) + 4 \cos (-2\pi) - 2 \sin (-3\pi)$.

а) Для упрощения выражения $3 \cos 0 + 2 \sin \frac{\pi}{2} - 4 \cos \frac{\pi}{2} - 7 \sin(-\pi)$ воспользуемся известными значениями тригонометрических функций для стандартных углов и свойствами четности/нечетности функций.
Нам известны следующие значения:
$\cos 0 = 1$
$\sin \frac{\pi}{2} = 1$
$\cos \frac{\pi}{2} = 0$
Функция синус является нечетной, что означает $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому $\sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 - 7 \cdot 0 = 3 + 2 - 0 - 0 = 5$.
Ответ: 5

б) Для упрощения выражения $\cos \frac{\pi}{2} - 3 \sin(-\frac{3\pi}{4}) + 4 \cos(-2\pi) - 2 \sin(-3\pi)$ вычислим значение каждого слагаемого.
1. Значение первого слагаемого: $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.
2. Для второго слагаемого используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$:
$-3 \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -3 (-\sin(\frac{3\pi}{4})) = 3 \sin(\frac{3\pi}{4})$.
Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти. Используя формулу приведения, получим: $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, второе слагаемое равно $3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
3. Для третьего слагаемого используем свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$ и его периодичность (период $2\pi$):
$4 \cos(-2\pi) = 4 \cos(2\pi) = 4 \cos(0) = 4 \cdot 1 = 4$.
4. Для четвертого слагаемого используем свойство нечетности синуса и его периодичность:
$-2 \sin(-3\pi) = -2(-\sin(3\pi)) = 2 \sin(3\pi) = 2 \sin(\pi + 2\pi) = 2 \sin(\pi) = 2 \cdot 0 = 0$.
Теперь сложим все полученные значения:
$0 + \frac{3\sqrt{2}}{2} + 4 - 0 = 4 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $4 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

7.47 a) $sin \frac{\pi}{4} + \cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right) - 2 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2 \cos \frac{5\pi}{6};$

б) $3 \cos \frac{\pi}{3} - 2 \sin \frac{2\pi}{3} + 7 \cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \sin \left(-\frac{5\pi}{4}\right);$

в) $3 \cos \frac{7\pi}{4} + 2 \sin \frac{3\pi}{4} - \sin \left(-\frac{9\pi}{4}\right) + 7 \cos \frac{13\pi}{2};$

г) $2 \sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right) + 11 \cos \left(-\frac{7\pi}{3}\right) + \sin \frac{7\pi}{6} - 8 \cos \frac{2\pi}{3}.$

а) Вычислим значение выражения: $ \sin \frac{\pi}{4} + \cos(-\frac{3\pi}{4}) - 2\sin(-\frac{\pi}{6}) + 2\cos\frac{5\pi}{6} $.
Для этого найдем значения каждой тригонометрической функции, используя свойства четности/нечетности и формулы приведения:
$ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \cos(-\frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $
$ \cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2(-\frac{1}{2}) + 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3} $.
Ответ: $1 - \sqrt{3}$.

б) Вычислим значение выражения: $ 3\cos\frac{\pi}{3} - 2\sin\frac{2\pi}{3} + 7\cos(-\frac{2\pi}{3}) - \sin(-\frac{5\pi}{4}) $.
Найдем значения каждой функции:
$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $
$ \sin\frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
$ \cos(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $
$ \sin(-\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Подставим значения в выражение:
$ 3(\frac{1}{2}) - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7(-\frac{1}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} - \sqrt{3} - \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3-7}{2} - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{4}{2} - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -2 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $-2 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) Вычислим значение выражения: $ 3\cos\frac{7\pi}{4} + 2\sin\frac{3\pi}{4} - \sin(-\frac{9\pi}{4}) + 7\cos\frac{13\pi}{2} $.
Найдем значения функций, используя периодичность и формулы приведения:
$ \cos\frac{7\pi}{4} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin\frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin(-\frac{9\pi}{4}) = -\sin(\frac{9\pi}{4}) = -\sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \cos\frac{13\pi}{2} = \cos(\frac{12\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \cos(6\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $
Подставим значения в выражение:
$ 3(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7(0) = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $.
Ответ: $3\sqrt{2}$.

г) Вычислим значение выражения: $ 2\sin(-\frac{5\pi}{6}) + 11\cos(-\frac{7\pi}{3}) + \sin\frac{7\pi}{6} - 8\cos\frac{2\pi}{3} $.
Найдем значения каждой функции:
$ \sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $
$ \cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $
$ \sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $
$ \cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} $
Подставим значения в выражение:
$ 2(-\frac{1}{2}) + 11(\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2}) - 8(-\frac{1}{2}) = -1 + \frac{11}{2} - \frac{1}{2} + 4 = 3 + \frac{11-1}{2} = 3 + \frac{10}{2} = 3 + 5 = 8 $.
Ответ: $8$.