Страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.48 Запишите основное тригонометрическое тождество.

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Основное тригонометрическое тождество — это равенство, связывающее синус и косинус одного и того же угла. Оно гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла всегда равна единице.

Формула основного тригонометрического тождества выглядит следующим образом:

$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $

где $ \alpha $ — это любой угол.

Это тождество можно доказать с помощью единичной окружности. Рассмотрим окружность с радиусом $ R = 1 $, центр которой находится в начале координат $ (0;0) $. Возьмем на окружности произвольную точку $ M $ с координатами $ (x; y) $. Угол, образованный радиус-вектором $ OM $ и положительным направлением оси абсцисс (оси Ox), обозначим как $ \alpha $.

По определению тригонометрических функций на единичной окружности:

• синус угла $ \alpha $ — это ордината точки $ M $, то есть $ \sin\alpha = y $;
• косинус угла $ \alpha $ — это абсцисса точки $ M $, то есть $ \cos\alpha = x $.

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $ R $ имеет вид $ x^2 + y^2 = R^2 $. Для единичной окружности, где $ R=1 $, уравнение принимает вид:

$ x^2 + y^2 = 1 $

Теперь подставим в это уравнение значения $ x $ и $ y $, выраженные через тригонометрические функции:

$ (\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha)^2 = 1 $

Это равенство принято записывать в более короткой форме, опуская скобки:

$ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $

Это тождество справедливо для любого значения угла $ \alpha $ и является одним из самых важных в тригонометрии. Оно позволяет, зная значение одной из функций (синуса или косинуса), найти значение другой (с точностью до знака, который определяется координатной четвертью, в которой находится угол).

Ответ: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

7.49° Назовите наибольшее и наименьшее значения:

a) $\sin \alpha$;

б) $\cos \alpha$.

Для определения наибольшего и наименьшего значений синуса и косинуса используется их определение через единичную окружность. Единичная окружность имеет центр в начале координат и радиус, равный 1. Для любого угла $\alpha$ точка на окружности, соответствующая этому углу, имеет координаты $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

а) $\sin \alpha$

Значение $\sin \alpha$ — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности. Поскольку любая точка на окружности с радиусом 1 удалена от центра не более чем на 1, ее координаты по оси $y$ не могут выходить за пределы отрезка $[-1, 1]$.

Наибольшее значение, равное 1, функция $\sin \alpha$ принимает, когда точка находится в самой верхней части окружности. Это происходит при углах $\alpha = 90^\circ + 360^\circ k$ (или $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$), где $k$ — любое целое число.

Наименьшее значение, равное -1, функция $\sin \alpha$ принимает, когда точка находится в самой нижней части окружности. Это происходит при углах $\alpha = 270^\circ + 360^\circ k$ (или $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$), где $k$ — любое целое число.

Таким образом, все значения $\sin \alpha$ лежат в диапазоне $[-1, 1]$.

Ответ: наибольшее значение $\sin \alpha$ равно 1, наименьшее значение равно -1.

б) $\cos \alpha$

Значение $\cos \alpha$ — это абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности. Как и в случае с ординатой, абсцисса точки на единичной окружности не может выходить за пределы отрезка $[-1, 1]$.

Наибольшее значение, равное 1, функция $\cos \alpha$ принимает, когда точка находится в самой правой части окружности. Это происходит при углах $\alpha = 0^\circ + 360^\circ k$ (или $\alpha = 2\pi k$), где $k$ — любое целое число.

Наименьшее значение, равное -1, функция $\cos \alpha$ принимает, когда точка находится в самой левой части окружности. Это происходит при углах $\alpha = 180^\circ + 360^\circ k$ (или $\alpha = \pi + 2\pi k$), где $k$ — любое целое число.

Таким образом, все значения $\cos \alpha$ лежат в диапазоне $[-1, 1]$.

Ответ: наибольшее значение $\cos \alpha$ равно 1, наименьшее значение равно -1.

7.50 Запишите основные формулы для $sin \alpha$ и $cos \alpha$.

Основное тригонометрическое тождество
Это фундаментальное соотношение, связывающее синус и косинус одного и того же угла. Оно следует из теоремы Пифагора для единичной окружности.
$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $
Из этого тождества можно выразить одну функцию через другую (знак «±» зависит от четверти, в которой находится угол $ \alpha $):
$ \sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} $
$ \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $
Ответ: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Определения в прямоугольном треугольнике
Для острого угла $ \alpha $ в прямоугольном треугольнике синус и косинус определяются как отношения длин сторон:
- Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Если $ a $ – противолежащий катет, $ b $ – прилежащий катет, а $ c $ – гипотенуза, то:
$ \sin \alpha = \frac{a}{c} $
$ \cos \alpha = \frac{b}{c} $
Ответ: $ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $, $ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $.

Четность и периодичность
Функция синус является нечетной, а функция косинус – четной. Обе функции являются периодическими с основным периодом $ 2\pi $.
$ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $ (нечетная функция)
$ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $ (четная функция)
$ \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha, \quad k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $, $ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $; $ \sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha $, $ \cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha $.

Формулы сложения и вычитания углов
Эти формулы позволяют найти синус или косинус суммы или разности двух углов.
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $
Ответ:
$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $
$ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $

Формулы двойного угла
Являются частным случаем формул сложения, когда $ \beta = \alpha $.
$ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
$ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $
Используя основное тригонометрическое тождество, формулу для косинуса двойного угла можно записать еще в двух видах:
$ \cos(2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1 $
$ \cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha $
Ответ:
$ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
$ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha $

Формулы понижения степени (или половинного угла)
Эти формулы выводятся из формул косинуса двойного угла и позволяют понизить степень тригонометрической функции.
$ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $
$ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $
Если заменить $ \alpha $ на $ \frac{\alpha}{2} $, получатся формулы половинного угла:
$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} $
$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $
Ответ: $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $; $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Формулы преобразования суммы в произведение
Позволяют преобразовать сумму или разность синусов/косинусов в произведение.
$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $
$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $
Ответ:
$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $
$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $

Формулы преобразования произведения в сумму
Позволяют преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность.
$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $
$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $
$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $
Ответ:
$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $
$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $
$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $

Универсальная тригонометрическая подстановка
Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла (где $ t = \tan \frac{\alpha}{2} $).
$ \sin \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2t}{1+t^2} $
$ \cos \alpha = \frac{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2} $
Ответ: $ \sin \alpha = \frac{2t}{1+t^2} $, $ \cos \alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2} $, где $ t = \tan \frac{\alpha}{2} $.

Формулы приведения
Эти формулы позволяют упростить тригонометрические выражения, сводя их к функциям угла из первой четверти. Общее мнемоническое правило:
1. Правило функции: Если в формуле угол имеет вид $ \frac{\pi}{2} \pm \alpha $ или $ \frac{3\pi}{2} \pm \alpha $, то название функции меняется на "кофункцию" ($ \sin \leftrightarrow \cos $). Если угол имеет вид $ \pi \pm \alpha $ или $ 2\pi \pm \alpha $, название функции сохраняется.
2. Правило знака: Знак перед полученной функцией совпадает со знаком исходной функции, если считать угол $ \alpha $ острым.
Примеры:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha $
$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $
$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha $
$ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha $
Ответ: Формулы приведения определяются правилами смены функции (на кофункцию для углов $ \frac{\pi}{2} \pm \alpha, \frac{3\pi}{2} \pm \alpha $) и знака (по четверти исходного угла).

Существует ли такой угол $\alpha$, для которого (7.51–7.52):

7.51 a) $\sin \alpha = -1, \cos \alpha = \frac{3}{5}$;

б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin \alpha = \frac{3}{5}, \cos \alpha = -\frac{4}{5}$;

г) $\sin \alpha = -\frac{12}{13}, \cos \alpha = -\frac{5}{13}$?

Для того чтобы определить, существует ли такой угол $\alpha$, необходимо проверить, удовлетворяют ли данные значения синуса и косинуса основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Если равенство выполняется, то такой угол существует. Если нет — не существует.

а) $\sin\alpha = -1$, $\cos\alpha = \frac{3}{5}$

Проверим выполнение тождества, подставив в него данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (-1)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} + \frac{9}{25} = \frac{34}{25}$

Результат не равен 1, так как $\frac{34}{25} \neq 1$. Следовательно, такой угол не существует.

Ответ: не существует.

б) $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Проверим выполнение тождества, подставив в него данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Равенство $1 = 1$ выполняется. Следовательно, такой угол существует. Например, это угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: существует.

в) $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$

Проверим выполнение тождества, подставив в него данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{9+16}{25} = \frac{25}{25} = 1$

Равенство $1 = 1$ выполняется. Следовательно, такой угол существует.

Ответ: существует.

г) $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$, $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$

Проверим выполнение тождества, подставив в него данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{12}{13}\right)^2 + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{144+25}{169} = \frac{169}{169} = 1$

Равенство $1 = 1$ выполняется. Следовательно, такой угол существует.

Ответ: существует.

7.52 a) $sin \alpha = -\sqrt{3}$;

б) $cos \alpha = \sqrt{3} - 1$;

В) $sin \alpha = \frac{\pi}{2}$;

Г) $sin \alpha = -\frac{\sqrt{11}}{3}$;

Д) $cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$;

е) $cos \alpha = -\frac{\pi}{3}$?

а) Чтобы равенство $\sin \alpha = a$ имело решение, значение $a$ должно принадлежать области значений функции синус, то есть $a \in [-1; 1]$.
В данном случае $a = -\sqrt{3}$. Оценим его значение: $\sqrt{3} \approx 1.732$, значит $-\sqrt{3} \approx -1.732$.
Так как $-1.732 < -1$, значение $-\sqrt{3}$ не входит в отрезок $[-1; 1]$.
Ответ: нет, такое равенство невозможно.

б) Чтобы равенство $\cos \alpha = a$ имело решение, значение $a$ должно принадлежать области значений функции косинус, то есть $a \in [-1; 1]$.
В данном случае $a = \sqrt{3} - 1$. Оценим его значение: $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Тогда $\sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$.
Так как $-1 \le 0.732 \le 1$, значение $\sqrt{3} - 1$ входит в отрезок $[-1; 1]$.
Ответ: да, такое равенство возможно.

в) Проверим, принадлежит ли значение $\frac{\pi}{2}$ отрезку $[-1; 1]$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
Тогда $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$.
Так как $1.57 > 1$, значение $\frac{\pi}{2}$ не входит в область значений функции синус.
Ответ: нет, такое равенство невозможно.

г) Проверим, принадлежит ли значение $-\frac{\sqrt{11}}{3}$ отрезку $[-1; 1]$.
Для этого сравним модуль этого числа, $\frac{\sqrt{11}}{3}$, с числом $1$.
Это эквивалентно сравнению $\sqrt{11}$ и $3$.
Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{11})^2 = 11$ и $3^2 = 9$.
Поскольку $11 > 9$, то $\sqrt{11} > 3$, и, следовательно, $\frac{\sqrt{11}}{3} > 1$.
Это означает, что $-\frac{\sqrt{11}}{3} < -1$. Данное значение не входит в область значений функции синус.
Ответ: нет, такое равенство невозможно.

д) Проверим, принадлежит ли значение $\frac{\sqrt{7}}{3}$ отрезку $[-1; 1]$.
Сравним $\frac{\sqrt{7}}{3}$ с $1$. Это эквивалентно сравнению $\sqrt{7}$ и $3$.
Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{7})^2 = 7$ и $3^2 = 9$.
Поскольку $7 < 9$, то $\sqrt{7} < 3$, и, следовательно, $0 < \frac{\sqrt{7}}{3} < 1$.
Значение $\frac{\sqrt{7}}{3}$ входит в отрезок $[-1; 1]$.
Ответ: да, такое равенство возможно.

е) Проверим, принадлежит ли значение $-\frac{\pi}{3}$ отрезку $[-1; 1]$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
Тогда $-\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3.14159}{3} \approx -1.047$.
Так как $-1.047 < -1$, значение $-\frac{\pi}{3}$ не входит в область значений функции косинус.
Ответ: нет, такое равенство невозможно.

7.53 Может ли косинус угла быть равным:

а) $- \frac{21}{37};$

б) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1};$

в) $\frac{1}{\sin \frac{\pi}{6}};$

г) $\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{6}}?$

Косинус любого угла — это значение, которое находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно. То есть, для любого угла $\alpha$ справедливо неравенство $-1 \le \cos\alpha \le 1$. Для решения задачи проверим, принадлежит ли каждое из предложенных значений этому отрезку.

а) Рассмотрим число $-\frac{21}{37}$. Так как числитель $21$ меньше знаменателя $37$, то модуль этого числа $|\,-\frac{21}{37}| = \frac{21}{37} < 1$. Следовательно, значение $-\frac{21}{37}$ находится в отрезке $[-1, 1]$.
Ответ: Да, может.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$ и $\sqrt{2} > 1$, то числитель и знаменатель положительны, а значит, и вся дробь положительна. Сравним ее с $1$. Неравенство $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} < 1$ равносильно неравенству $\sqrt{3}-\sqrt{2} < \sqrt{2}-1$, или $\sqrt{3}+1 < 2\sqrt{2}$. Так как обе части положительны, возведем их в квадрат: $(\sqrt{3}+1)^2 < (2\sqrt{2})^2$, что дает $3+2\sqrt{3}+1 < 8$, или $4+2\sqrt{3} < 8$. Это упрощается до $2\sqrt{3} < 4$, или $\sqrt{3} < 2$. Последнее неравенство верно, так как $3 < 4$. Следовательно, $0 < \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} < 1$, и это значение может быть косинусом угла.
Ответ: Да, может.

в) Рассмотрим выражение $\frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}}$. Значение синуса угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$. Тогда выражение равно $\frac{1}{1/2} = 2$. Число $2$ больше $1$, поэтому оно не может быть значением косинуса.
Ответ: Нет, не может.

г) Рассмотрим выражение $\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{6}}$. Используя табличные значения $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$. Число $1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, это максимально возможное значение косинуса.
Ответ: Да, может.

7.54 Вычислите $\sin \alpha$, если:

a) $\cos \alpha = \frac{1}{4}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

а) Для вычисления $sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.
Из этого тождества выражаем $sin \alpha$: $sin \alpha = \pm \sqrt{1 - cos^2 \alpha}$.
Дано, что $cos \alpha = \frac{1}{4}$. Подставляем это значение в формулу:
$sin \alpha = \pm \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \pm \sqrt{\frac{16 - 1}{16}} = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. В этой четверти значения синуса положительны ($sin \alpha > 0$). Поэтому выбираем значение со знаком плюс.
Ответ: $sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

б) Используем то же основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$, из которого $sin \alpha = \pm \sqrt{1 - cos^2 \alpha}$.
Дано, что $cos \alpha = -\frac{1}{3}$. Подставляем это значение в формулу:
$sin \alpha = \pm \sqrt{1 - (-\frac{1}{3})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \pm \sqrt{\frac{9 - 1}{9}} = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти значения синуса отрицательны ($sin \alpha < 0$). Поэтому выбираем значение со знаком минус.
Ответ: $sin \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

7.55 Вычислите $\cos \alpha$, если:

a) $\sin \alpha = 0,8, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

б) $\sin \alpha = -0,6, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

а) Для вычисления значения $\cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Из этого тождества следует, что $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим известное значение $\sin\alpha = 0,8$:
$\cos^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Следовательно, $\cos\alpha$ может быть равен $\sqrt{0,36}$ или $-\sqrt{0,36}$, то есть $\cos\alpha = \pm 0,6$.
Чтобы определить знак, обратимся к условию, что угол $\alpha$ находится в промежутке $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Этот промежуток соответствует II координатной четверти. Во второй четверти косинус имеет отрицательное значение.
Таким образом, выбираем отрицательное значение: $\cos\alpha = -0,6$.
Ответ: -0,6

б) Аналогично предыдущему пункту, используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$.
Подставим известное значение $\sin\alpha = -0,6$:
$\cos^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Следовательно, $\cos\alpha = \pm\sqrt{0,64}$, то есть $\cos\alpha = \pm 0,8$.
Знак косинуса определим по заданному промежутку для угла $\alpha$: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот промежуток соответствует IV координатной четверти. В четвертой четверти косинус имеет положительное значение.
Поэтому выбираем положительное значение: $\cos\alpha = 0,8$.
Ответ: 0,8

Упростите выражение (7.56–7.59):

7.56 а) $1 - \sin^2 \alpha$;
б) $1 - \cos^2 \alpha$;
в) $\sin^2 \alpha - 1$;
г) $\cos^2 \alpha - 1$.

Для упрощения всех выражений в этом задании используется основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $

а) Рассмотрим выражение $ 1 - \sin^2 \alpha $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, мы можем выразить $ \cos^2 \alpha $. Для этого перенесем $ \sin^2 \alpha $ в правую часть уравнения: $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $. Таким образом, исходное выражение можно заменить на $ \cos^2 \alpha $.
Ответ: $ \cos^2 \alpha $

б) Рассмотрим выражение $ 1 - \cos^2 \alpha $. Аналогично предыдущему пункту, из основного тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ выразим $ \sin^2 \alpha $, перенеся $ \cos^2 \alpha $ в правую часть: $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $. Следовательно, исходное выражение равно $ \sin^2 \alpha $.
Ответ: $ \sin^2 \alpha $

в) Рассмотрим выражение $ \sin^2 \alpha - 1 $. Можно заметить, что это выражение отличается от $ 1 - \sin^2 \alpha $ только знаком. Вынесем минус за скобки: $ \sin^2 \alpha - 1 = -(1 - \sin^2 \alpha) $. Как мы уже выяснили в пункте а), выражение в скобках равно $ \cos^2 \alpha $. Значит, $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $.
Ответ: $ -\cos^2 \alpha $

г) Рассмотрим выражение $ \cos^2 \alpha - 1 $. Это выражение также отличается знаком от выражения из пункта б). Вынесем минус за скобки: $ \cos^2 \alpha - 1 = -(1 - \cos^2 \alpha) $. Как было показано в пункте б), выражение в скобках равно $ \sin^2 \alpha $. Таким образом, $ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $.
Ответ: $ -\sin^2 \alpha $

7.57 а) $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)$;

б) $(\cos \alpha - 1)(1 + \cos \alpha)$;

в) $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1$;

г) $1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.

а) Чтобы упростить выражение $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)$, воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=1$ и $b=\sin \alpha$.

$(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Далее применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Таким образом, исходное выражение равно $\cos^2 \alpha$.

Ответ: $\cos^2 \alpha$

б) Упростим выражение $(\cos \alpha - 1)(1 + \cos \alpha)$. Это также является формулой разности квадратов. Переставим слагаемые для наглядности: $(\cos \alpha - 1)(\cos \alpha + 1)$.

Применим формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=\cos \alpha$ и $b=1$.

$(\cos \alpha - 1)(\cos \alpha + 1) = \cos^2 \alpha - 1^2 = \cos^2 \alpha - 1$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ выразим $\cos^2 \alpha - 1$. Перенеся 1 в левую часть, а $\sin^2 \alpha$ в правую, получим $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Следовательно, результат упрощения равен $-\sin^2 \alpha$.

Ответ: $-\sin^2 \alpha$

в) Рассмотрим выражение $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, мы можем заменить 1 на сумму квадратов синуса и косинуса.

$\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1 = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные члены:

$(\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (-\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 2\cos^2 \alpha + 0 = 2\cos^2 \alpha$.

Альтернативный способ: заменить $\sin^2 \alpha$ на $1 - \cos^2 \alpha$.

$\cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha) + 1 = \cos^2 \alpha - 1 + \cos^2 \alpha + 1 = 2\cos^2 \alpha$.

Ответ: $2\cos^2 \alpha$

г) Упростим выражение $1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.

Заменим 1 на $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ из основного тригонометрического тождества.

$1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 2\sin^2 \alpha + 0 = 2\sin^2 \alpha$.

Альтернативный способ: заменить $\cos^2 \alpha$ на $1 - \sin^2 \alpha$.

$1 + \sin^2 \alpha - (1 - \sin^2 \alpha) = 1 + \sin^2 \alpha - 1 + \sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha$.

Ответ: $2\sin^2 \alpha$

7.58 a) $ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $;

б) $ \frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} $;

в) $ \frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha} $;

г) $ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha - 1} $;

где угол $\alpha$ такой, что знаменатель не обращается в нуль.

а) Для упрощения выражения $ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Из этого тождества следует, что $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $

Поскольку по условию задачи знаменатель не обращается в нуль ($ \cos^2 \alpha \neq 0 $), мы можем сократить дробь, получив в результате 1.

Ответ: $ 1 $

б) Рассмотрим выражение $ \frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} $.

Снова обратимся к основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Перенесем 1 в левую часть, а $ \sin^2 \alpha $ в правую:

$ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $.

Теперь подставим полученное выражение в числитель дроби:

$ \frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} = \frac{-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $

Так как по условию $ \sin^2 \alpha \neq 0 $, мы можем сократить дробь.

$ \frac{-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -1 $

Ответ: $ -1 $

в) Упростим выражение $ \frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha} $.

Из основного тригонометрического тождества выразим $ \sin^2 \alpha $: $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $.

Подставим это в числитель:

$ \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 + \cos \alpha} $

Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ 1 - \cos^2 \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) $

Дробь принимает вид:

$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha} $

По условию знаменатель $ 1 + \cos \alpha \neq 0 $, поэтому мы можем сократить дробь на общий множитель $ (1 + \cos \alpha) $.

$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha} = 1 - \cos \alpha $

Ответ: $ 1 - \cos \alpha $

г) Рассмотрим выражение $ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha - 1} $.

Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $ \cos^2 \alpha $ на $ 1 - \sin^2 \alpha $:

$ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha - 1} $

Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$ 1 - \sin^2 \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) $

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha - 1} $

Заметим, что множитель в знаменателе $ (\sin \alpha - 1) $ отличается от множителя в числителе $ (1 - \sin \alpha) $ только знаком. Вынесем минус за скобки в знаменателе: $ \sin \alpha - 1 = -(1 - \sin \alpha) $.

$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{-(1 - \sin \alpha)} $

По условию $ \sin \alpha - 1 \neq 0 $, следовательно, и $ 1 - \sin \alpha \neq 0 $. Сокращаем дробь на $ (1 - \sin \alpha) $:

$ \frac{1 + \sin \alpha}{-1} = -(1 + \sin \alpha) = -1 - \sin \alpha $

Ответ: $ -1 - \sin \alpha $

7.59 a) $1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha;$

б) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha;$

в) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha;$

г) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2.$

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем знак минус за скобки: $1 - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Подставим это значение в выражение: $1 - 1 = 0$.
Ответ: 0

Представим выражение в виде разности квадратов: $(\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выражение упрощается до: $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Это выражение является формулой косинуса двойного угла с противоположным знаком: $-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos(2\alpha)$.
Ответ: $-\cos(2\alpha)$

Сгруппируем слагаемые: $(\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha) - (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)$. Как было показано в решении пункта б), $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Подставим это упрощенное выражение в нашу задачу: $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) - (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 0$.
Ответ: 0

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности: $(\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$. Приведем подобные слагаемые. Члены $2\sin \alpha \cos \alpha$ и $-2\sin \alpha \cos \alpha$ взаимно уничтожаются. Остается: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$. Сгруппируем: $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Таким образом, получаем: $1 + 1 = 2$.
Ответ: 2