Страница 210 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.37 Верно ли равенство:

a) $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} $;

б) $ \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} $?

а) Чтобы проверить, верно ли равенство $sin(-\frac{\pi}{2}) = -sin\frac{\pi}{2}$, можно использовать свойство нечетности функции синус. Для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.

В данном случае, если принять $\alpha = \frac{\pi}{2}$, то равенство $sin(-\frac{\pi}{2}) = -sin\frac{\pi}{2}$ является прямым следствием этого свойства. Следовательно, равенство верно.

Также можно выполнить проверку путем вычисления значений левой и правой частей равенства.

1. Вычислим значение левой части:
$sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

2. Вычислим значение правой части:
$-sin\frac{\pi}{2} = -(1) = -1$.

3. Сравним результаты:
$-1 = -1$.
Поскольку значения левой и правой частей совпадают, равенство является верным.

Ответ: верно.

б) Чтобы проверить, верно ли равенство $cos(-\frac{\pi}{4}) = cos\frac{\pi}{4}$, можно использовать свойство четности функции косинус. Для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

В данном случае, если принять $\alpha = \frac{\pi}{4}$, то равенство $cos(-\frac{\pi}{4}) = cos\frac{\pi}{4}$ является прямым следствием этого свойства. Следовательно, равенство верно.

Также можно выполнить проверку путем вычисления значений левой и правой частей равенства.

1. Вычислим значение левой части. Косинус является четной функцией, поэтому $cos(-x) = cos(x)$:
$cos(-\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Вычислим значение правой части. Это известное табличное значение:
$cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Сравним результаты:
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку значения левой и правой частей совпадают, равенство является верным.

Ответ: верно.

7.38 Отметьте на единичной окружности точки, соответствующие углам, радианная мера которых равна 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Определите знак синуса и знак косинуса для каждого из этих углов.

Для того чтобы отметить на единичной окружности точки и определить знаки синуса и косинуса, необходимо определить, в какой координатной четверти находится каждый угол. Для этого сравним радианные меры углов с ключевыми значениями на окружности, используя приближение $ \pi \approx 3.14 $.

• I четверть: угол $ \alpha $ находится в промежутке $ 0 < \alpha < \pi/2 \approx 1.57 $. Знаки: $ \sin(\alpha) > 0, \cos(\alpha) > 0 $.
• II четверть: угол $ \alpha $ находится в промежутке $ \pi/2 \approx 1.57 < \alpha < \pi \approx 3.14 $. Знаки: $ \sin(\alpha) > 0, \cos(\alpha) < 0 $.
• III четверть: угол $ \alpha $ находится в промежутке $ \pi \approx 3.14 < \alpha < 3\pi/2 \approx 4.71 $. Знаки: $ \sin(\alpha) < 0, \cos(\alpha) < 0 $.
• IV четверть: угол $ \alpha $ находится в промежутке $ 3\pi/2 \approx 4.71 < \alpha < 2\pi \approx 6.28 $. Знаки: $ \sin(\alpha) < 0, \cos(\alpha) > 0 $.

Проанализируем каждый из заданных углов:

Угол 1 радиан

Поскольку $ 0 < 1 < 1.57 $, то есть $ 0 < 1 < \pi/2 $, точка, соответствующая этому углу, расположена в I четверти. В этой четверти и синус, и косинус имеют знак «+».

Ответ: $ \sin(1) > 0 $, $ \cos(1) > 0 $.

Угол 2 радиана

Поскольку $ 1.57 < 2 < 3.14 $, то есть $ \pi/2 < 2 < \pi $, точка, соответствующая этому углу, расположена во II четверти. В этой четверти синус имеет знак «+», а косинус — знак «−».

Ответ: $ \sin(2) > 0 $, $ \cos(2) < 0 $.

Угол 3 радиана

Поскольку $ 1.57 < 3 < 3.14 $, то есть $ \pi/2 < 3 < \pi $, точка, соответствующая этому углу, расположена во II четверти. В этой четверти синус имеет знак «+», а косинус — знак «−».

Ответ: $ \sin(3) > 0 $, $ \cos(3) < 0 $.

Угол 4 радиана

Поскольку $ 3.14 < 4 < 4.71 $, то есть $ \pi < 4 < 3\pi/2 $, точка, соответствующая этому углу, расположена в III четверти. В этой четверти и синус, и косинус имеют знак «−».

Ответ: $ \sin(4) < 0 $, $ \cos(4) < 0 $.

Угол 5 радиан

Поскольку $ 4.71 < 5 < 6.28 $, то есть $ 3\pi/2 < 5 < 2\pi $, точка, соответствующая этому углу, расположена в IV четверти. В этой четверти синус имеет знак «−», а косинус — знак «+».

Ответ: $ \sin(5) < 0 $, $ \cos(5) > 0 $.

Угол 6 радиан

Поскольку $ 4.71 < 6 < 6.28 $, то есть $ 3\pi/2 < 6 < 2\pi $, точка, соответствующая этому углу, расположена в IV четверти. В этой четверти синус имеет знак «−», а косинус — знак «+».

Ответ: $ \sin(6) < 0 $, $ \cos(6) > 0 $.

Угол 7 радиан

Угол в 7 радиан больше полного оборота ($ 2\pi \approx 6.28 $). Чтобы найти его положение на единичной окружности, найдем соответствующий ему угол в пределах первого оборота: $ 7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72 $ радиан. Поскольку $ 0 < 0.72 < 1.57 $, то есть $ 0 < 7 - 2\pi < \pi/2 $, точка, соответствующая этому углу, расположена в I четверти. В этой четверти и синус, и косинус имеют знак «+».

Ответ: $ \sin(7) > 0 $, $ \cos(7) > 0 $.

7.39 ИССЛЕДУЕМ.

a) Если отмечать на единичной окружности точки, соответствующие углам, радианная мера которых равна 1, 2, 3, 4, ..., то могут ли какие-нибудь из этих точек совпасть?

б) Выясните, верно ли утверждение: если на единичной окружности отметить точку, соответствующую углу, радианная мера которого есть рациональное число, то она не соответствует никакому другому углу, радианная мера которого есть другое рациональное число.

а) Чтобы две точки на единичной окружности, соответствующие углам $\alpha_1$ и $\alpha_2$, совпали, необходимо и достаточно, чтобы их разность была кратна полному обороту, то есть $2\pi$ радиан. Математически это записывается как $\alpha_1 - \alpha_2 = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

В нашем случае углы — это натуральные числа $1, 2, 3, 4, \dots$. Предположим, что две точки, соответствующие углам $m$ и $n$ радиан (где $m$ и $n$ — разные натуральные числа, пусть $m > n$), совпадают. Тогда должно выполняться равенство:

$m - n = 2\pi k$

Поскольку $m \neq n$, то $k$ не может быть равно нулю. Так как $m > n$, то $m-n$ — положительное число, следовательно, $k$ должно быть положительным целым числом.

Из этого равенства можно выразить число $\pi$:

$\pi = \frac{m - n}{2k}$

В правой части этого равенства находится дробь, числитель которой ($m-n$) — целое число, и знаменатель ($2k$) — тоже целое число. Это означает, что если бы такие точки могли совпасть, то число $\pi$ должно было бы быть рациональным числом.

Однако хорошо известно, что число $\pi$ является иррациональным, то есть его невозможно представить в виде отношения двух целых чисел. Следовательно, наше предположение неверно, и равенство $m - n = 2\pi k$ не может выполняться для целых $m, n, k$ (при $m \neq n$).

Ответ: нет, не могут.

б) Рассмотрим данное утверждение: если на единичной окружности отметить точку, соответствующую углу, радианная мера которого есть рациональное число, то она не соответствует никакому другому углу, радианная мера которого есть другое рациональное число.

Чтобы проверить это утверждение, воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что утверждение неверно. Это означает, что существуют два различных рациональных числа $r_1$ и $r_2$ ($r_1 \neq r_2$), которым на единичной окружности соответствует одна и та же точка.

Если точки совпадают, то разность соответствующих им углов должна быть кратна $2\pi$:

$r_1 - r_2 = 2\pi k$

где $k$ — некоторое ненулевое целое число (ненулевое, так как $r_1 \neq r_2$).

Поскольку $r_1$ и $r_2$ — рациональные числа, их разность $R = r_1 - r_2$ также является рациональным числом. При этом $R \neq 0$.

Тогда наше равенство можно переписать как $R = 2\pi k$. Выразим отсюда $\pi$:

$\pi = \frac{R}{2k}$

В правой части этого равенства стоит дробь, где $R$ — ненулевое рациональное число, а $2k$ — ненулевое целое число. Частное от деления рационального числа на целое также является рациональным числом. Например, если $R = \frac{p}{q}$ (где $p,q$ — целые, $q \neq 0$), то $\frac{R}{2k} = \frac{p/q}{2k} = \frac{p}{2kq}$, что по определению является рациональным числом.

Таким образом, из нашего предположения следует, что $\pi$ — рациональное число. Это противоречит тому факту, что $\pi$ — иррациональное число.

Противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было ложным, а исходное утверждение — истинным.

Ответ: да, утверждение верно.

7.40 Определите знак числа:

а) $ \sin 4; $

б) $ \cos \frac{3\pi}{4}; $

в) $ \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right); $

г) $ \cos (-4). $

а) Для определения знака $ \sin 4 $ необходимо определить, в какой четверти тригонометрической окружности находится угол в 4 радиана. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14$.

Сравним 4 с границами четвертей, выраженными в радианах:

• Первая четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$.
• Вторая четверть: от $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ до $\pi \approx 3.14$.
• Третья четверть: от $\pi \approx 3.14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14}{2} = 4.71$.
• Четвертая четверть: от $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ до $2\pi \approx 6.28$.

Так как выполняется неравенство $3.14 < 4 < 4.71$, то есть $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол в 4 радиана находится в третьей четверти. В третьей четверти значения синуса (координата y на единичной окружности) отрицательны. Следовательно, $ \sin 4 < 0 $.

Ответ: минус.

б) Для определения знака $ \cos \frac{3\pi}{4} $ определим, в какой четверти находится угол $\frac{3\pi}{4}$.

Сравним $\frac{3\pi}{4}$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$ и $\pi = \frac{4\pi}{4}$.

Так как $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$, угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти. Во второй четверти значения косинуса (координата x на единичной окружности) отрицательны. Следовательно, $ \cos \frac{3\pi}{4} < 0 $.

Можно также вычислить точное значение: $ \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, что является отрицательным числом.

Ответ: минус.

в) Для определения знака $ \sin(-\frac{\pi}{2}) $ можно воспользоваться свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

Применим это свойство: $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) $.

Известно, что $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.

Следовательно, $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $. Это отрицательное число.

Ответ: минус.

г) Для определения знака $ \cos(-4) $ воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.

Применим это свойство: $ \cos(-4) = \cos(4) $.

Теперь нужно определить знак $ \cos 4 $. Как и в пункте а), определим четверть для угла в 4 радиана. Мы уже выяснили, что $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, то есть угол находится в третьей четверти. В третьей четверти значения косинуса (координата x на единичной окружности) отрицательны. Следовательно, $ \cos(-4) = \cos(4) < 0 $.

Ответ: минус.

7.41 Выполняется ли равенство $cos \alpha = sin \alpha$ при каком-нибудь $\alpha$? Проиллюстрируйте решение на рисунке.

Да, равенство $cos \alpha = sin \alpha$ выполняется при определённых значениях угла $\alpha$. Чтобы найти эти значения, решим данное тригонометрическое уравнение.

Алгебраическое решение

Исходное уравнение: $cos \alpha = sin \alpha$

Предположим, что $cos \alpha \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $cos \alpha$:
$\frac{sin \alpha}{cos \alpha} = 1$

Используя определение тангенса ($tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$), получаем:
$tan \alpha = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решения которого имеют вид:
$\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Проверим наше предположение, что $cos \alpha \neq 0$. Для найденных значений $\alpha$, косинус принимает значения $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при четных n) или $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (при нечетных n). Оба этих значения не равны нулю, следовательно, наше решение корректно.

Геометрическая иллюстрация

Решение можно наглядно представить с помощью единичной окружности в декартовой системе координат. Координаты любой точки на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, равны $(x, y) = (cos \alpha, sin \alpha)$.

Равенство $cos \alpha = sin \alpha$ означает, что абсцисса (x) точки на окружности должна быть равна её ординате (y). Геометрически, это точки, лежащие на прямой $y = x$ (биссектрисе I и III координатных четвертей).

Таким образом, нам нужно найти точки пересечения единичной окружности ($x^2 + y^2 = 1$) и прямой $y=x$.

На рисунке видно две такие точки:

1. В первой четверти точка с координатами $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

2. В третьей четверти точка с координатами $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ соответствует углу $\alpha = \frac{5\pi}{4}$.

Оба этих случая объединяются общей формулой, найденной ранее.

Ответ: Да, равенство выполняется при $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

7.42 Отметьте на единичной окружности все точки, соответствующие углам $\alpha$, для которых:

а) $\cos \alpha > 0$;

б) $\cos \alpha < 0$;

в) $\sin \alpha \le 0$;

г) $\sin \alpha \ge 0$.

На единичной окружности каждой точке $P$ соответствует угол $\alpha$. Координаты этой точки равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Таким образом, $\cos \alpha$ — это абсцисса (координата по оси $x$), а $\sin \alpha$ — это ордината (координата по оси $y$) точки на единичной окружности.

а) $ \cos \alpha > 0 $
Неравенство $ \cos \alpha > 0 $ означает, что абсцисса точки на единичной окружности должна быть положительной. Это соответствует всем точкам, находящимся в правой полуплоскости, то есть в I и IV координатных четвертях. Граничные точки, лежащие на оси ординат (где $ \cos \alpha = 0 $, то есть углы $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{2} $), не включаются, так как неравенство строгое.
Ответ: Точки, расположенные на дуге единичной окружности в I и IV координатных четвертях, исключая точки на оси ординат. Этим точкам соответствуют углы $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos \alpha < 0 $
Неравенство $ \cos \alpha < 0 $ означает, что абсцисса точки на единичной окружности должна быть отрицательной. Это соответствует всем точкам, находящимся в левой полуплоскости, то есть во II и III координатных четвертях. Граничные точки, лежащие на оси ординат (где $ \cos \alpha = 0 $), не включаются.
Ответ: Точки, расположенные на дуге единичной окружности во II и III координатных четвертях, исключая точки на оси ординат. Этим точкам соответствуют углы $ \alpha $ из промежутка $ (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin \alpha \le 0 $
Неравенство $ \sin \alpha \le 0 $ означает, что ордината точки на единичной окружности должна быть отрицательной или равной нулю. Это соответствует всем точкам, находящимся в нижней полуплоскости (III и IV четверти), включая точки на оси абсцисс (где $ \sin \alpha = 0 $, то есть углы $ 0 $ и $ \pi $).
Ответ: Точки, расположенные на дуге единичной окружности в III и IV координатных четвертях, включая точки на оси абсцисс. Этим точкам соответствуют углы $ \alpha $ из промежутка $ [\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $ (или, что то же самое, $ [-\pi + 2\pi k, 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $).

г) $ \sin \alpha \ge 0 $
Неравенство $ \sin \alpha \ge 0 $ означает, что ордината точки на единичной окружности должна быть положительной или равной нулю. Это соответствует всем точкам, находящимся в верхней полуплоскости (I и II четверти), включая точки на оси абсцисс (где $ \sin \alpha = 0 $).
Ответ: Точки, расположенные на дуге единичной окружности в I и II координатных четвертях, включая точки на оси абсцисс. Этим точкам соответствуют углы $ \alpha $ из промежутка $ [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

Что больше (7.43–7.44):

7.43

а) $ \sin 40^\circ $ или $ \sin \frac{\pi}{4} $;

б) $ \cos \frac{\pi}{3} $ или $ \cos 60^\circ $;

в) $ \sin 120^\circ $ или $ \sin 130^\circ $;

г) $ \cos \frac{3\pi}{4} $ или $ \cos \pi $;

д) $ \sin 300^\circ $ или $ \sin 130^\circ $;

е) $ \cos \frac{3\pi}{4} $ или $ \cos \frac{\pi}{2} $;

ж) $ \sin (-300^\circ) $ или $ \cos 120^\circ $;

з) $ \cos \frac{13\pi}{4} $ или $ \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) $?

a) Сравним $ \sin 40^\circ $ и $ \sin \frac{\pi}{4} $.
Переведем радианы в градусы: $ \frac{\pi}{4} \text{ рад} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ $.
Теперь сравним $ \sin 40^\circ $ и $ \sin 45^\circ $.
Оба угла, $ 40^\circ $ и $ 45^\circ $, находятся в первой четверти (от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $). В этой четверти функция синус возрастает, то есть большему углу соответствует большее значение синуса.
Поскольку $ 40^\circ < 45^\circ $, то $ \sin 40^\circ < \sin 45^\circ $.
Ответ: $ \sin \frac{\pi}{4} > \sin 40^\circ $.

б) Сравним $ \cos \frac{\pi}{3} $ и $ \cos 60^\circ $.
Переведем радианы в градусы: $ \frac{\pi}{3} \text{ рад} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ $.
Задача сводится к сравнению $ \cos 60^\circ $ и $ \cos 60^\circ $. Эти значения равны.
$ \cos \frac{\pi}{3} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \cos \frac{\pi}{3} = \cos 60^\circ $.

в) Сравним $ \sin 120^\circ $ и $ \sin 130^\circ $.
Оба угла, $ 120^\circ $ и $ 130^\circ $, находятся во второй четверти (от $ 90^\circ $ до $ 180^\circ $). В этой четверти функция синус убывает, то есть большему углу соответствует меньшее значение синуса.
Поскольку $ 120^\circ < 130^\circ $, то $ \sin 120^\circ > \sin 130^\circ $.
Можно также использовать формулы приведения: $ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ $.
$ \sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ $. Так как $ 60^\circ > 50^\circ $ и в первой четверти синус возрастает, $ \sin 60^\circ > \sin 50^\circ $.
Ответ: $ \sin 120^\circ > \sin 130^\circ $.

г) Сравним $ \cos \frac{3\pi}{4} $ и $ \cos \pi $.
Переведем радианы в градусы: $ \frac{3\pi}{4} = 135^\circ $, $ \pi = 180^\circ $.
Сравним $ \cos 135^\circ $ и $ \cos 180^\circ $.
На промежутке от $ 0^\circ $ до $ 180^\circ $ функция косинус убывает. Это значит, что большему углу соответствует меньшее значение косинуса.
Поскольку $ 135^\circ < 180^\circ $, то $ \cos 135^\circ > \cos 180^\circ $.
Также можно вычислить значения: $ \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos \pi = -1 $.
Так как $ -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 $, а $ -0.707 > -1 $, то $ \cos \frac{3\pi}{4} > \cos \pi $.
Ответ: $ \cos \frac{3\pi}{4} > \cos \pi $.

д) Сравним $ \sin 300^\circ $ и $ \sin 130^\circ $.
Угол $ 300^\circ $ находится в четвертой четверти ($ 270^\circ < 300^\circ < 360^\circ $), где синус отрицателен.
Угол $ 130^\circ $ находится во второй четверти ($ 90^\circ < 130^\circ < 180^\circ $), где синус положителен.
Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $ \sin 130^\circ > \sin 300^\circ $.
Для проверки: $ \sin 300^\circ = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. $ \sin 130^\circ = \sin(180^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ > 0 $.
Ответ: $ \sin 130^\circ > \sin 300^\circ $.

е) Сравним $ \cos \frac{3\pi}{4} $ и $ \cos \frac{\pi}{2} $.
Вычислим значения:
$ \cos \frac{3\pi}{4} = \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \cos \frac{\pi}{2} = \cos(90^\circ) = 0 $.
Поскольку $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ является отрицательным числом, а $ 0 $ - нет, то $ 0 > -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \cos \frac{\pi}{2} > \cos \frac{3\pi}{4} $.

ж) Сравним $ \sin(-300^\circ) $ и $ \cos 120^\circ $.
Упростим выражения:
Используя периодичность синуса: $ \sin(-300^\circ) = \sin(-300^\circ + 360^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Для косинуса: $ \cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} $.
Сравниваем $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ (положительное число) и $ -\frac{1}{2} $ (отрицательное число).
Ответ: $ \sin(-300^\circ) > \cos 120^\circ $.

з) Сравним $ \cos \frac{13\pi}{4} $ и $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.
Упростим выражения:
Для косинуса, используя периодичность ($ 2\pi $): $ \frac{13\pi}{4} = \frac{8\pi + 5\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4} $.
$ \cos \frac{13\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{5\pi}{4}\right) = \cos \frac{5\pi}{4} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Для синуса, используя свойство нечетности: $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 $.
Сравниваем $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ -1 $.
Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 $.
Поскольку $ 0.707 < 1 $, то $ -0.707 > -1 $.
Ответ: $ \cos \frac{13\pi}{4} > \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.

7.44 а) $sin 3$ или $sin \pi$;

б) $cos 4$ или $cos 5$;

в) $sin 1$ или $sin (-1)$;

г) $cos (-2)$ или $cos 2$;

д) $sin 1$ или $sin 2$;

е) $cos 2$ или $cos 3$;

ж) $sin 3$ или $cos 3$;

з) $sin 3$ или $sin 5?$

а) sin 3 или sin π

Сравним $\sin 3$ и $\sin \pi$. Значение $\sin \pi$ равно 0. Аргумент 3 у функции синуса задан в радианах. Число $\pi \approx 3.14159$, следовательно, выполняется неравенство $0 < 3 < \pi$. Углы в этом диапазоне находятся в первой и второй координатных четвертях. Угол в 3 радиана находится во второй четверти. Для любого угла $x$ из интервала $(0, \pi)$, значение $\sin x$ положительно. Таким образом, $\sin 3 > 0$. Сравнивая $\sin 3$ и $\sin \pi$, получаем $\sin 3 > 0$, а $\sin \pi = 0$. Следовательно, $\sin 3 > \sin \pi$.

Ответ: $\sin 3 > \sin \pi$.

б) cos 4 или cos 5

Сравним $\cos 4$ и $\cos 5$. Аргументы 4 и 5 заданы в радианах. Определим положение углов на единичной окружности, используя приближенные значения: $\pi \approx 3.14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Угол в 4 радиана удовлетворяет неравенству $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, значит, он находится в третьей координатной четверти. В третьей четверти косинус отрицателен, то есть $\cos 4 < 0$. Угол в 5 радиан удовлетворяет неравенству $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, значит, он находится в четвертой координатной четверти. В четвертой четверти косинус положителен, то есть $\cos 5 > 0$. Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, $\cos 5 > \cos 4$.

Ответ: $\cos 5 > \cos 4$.

в) sin 1 или sin (-1)

Сравним $\sin 1$ и $\sin(-1)$. Функция синус является нечетной, то есть для любого $x$ выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin x$. Поэтому $\sin(-1) = -\sin 1$. Нам нужно сравнить $\sin 1$ и $-\sin 1$. Угол в 1 радиан находится в первой координатной четверти, так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. В первой четверти синус положителен, то есть $\sin 1 > 0$. Соответственно, $-\sin 1 < 0$. Так как любое положительное число больше отрицательного, получаем $\sin 1 > -\sin 1$, что равносильно $\sin 1 > \sin(-1)$.

Ответ: $\sin 1 > \sin(-1)$.

г) cos (-2) или cos 2

Сравним $\cos(-2)$ и $\cos 2$. Функция косинус является четной, то есть для любого $x$ выполняется равенство $\cos(-x) = \cos x$. Применив это свойство, получаем $\cos(-2) = \cos 2$. Таким образом, сравниваемые значения равны.

Ответ: $\cos(-2) = \cos 2$.

д) sin 1 или sin 2

Сравним $\sin 1$ и $\sin 2$. Рассмотрим разность этих значений и воспользуемся формулой разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$. $\sin 2 - \sin 1 = 2\sin\frac{2-1}{2}\cos\frac{2+1}{2} = 2\sin(0.5)\cos(1.5)$. Определим знаки множителей. Углы 0.5 и 1.5 радиана находятся в первой координатной четверти, так как $0 < 0.5 < \frac{\pi}{2}$ и $0 < 1.5 < \frac{\pi}{2}$ (где $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$). В первой четверти и синус, и косинус положительны. Значит, $\sin(0.5) > 0$ и $\cos(1.5) > 0$. Произведение трех положительных чисел положительно, следовательно, $\sin 2 - \sin 1 > 0$, откуда $\sin 2 > \sin 1$.

Ответ: $\sin 2 > \sin 1$.

е) cos 2 или cos 3

Сравним $\cos 2$ и $\cos 3$. Углы 2 и 3 радиана находятся во второй координатной четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ и $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (где $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$). На интервале $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ функция $y=\cos x$ является убывающей. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $\cos x_1 > \cos x_2$. Так как $2 < 3$, то $\cos 2 > \cos 3$.

Ответ: $\cos 2 > \cos 3$.

ж) sin 3 или cos 3

Сравним $\sin 3$ и $\cos 3$. Угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти, так как $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (где $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$). Во второй четверти значения синуса положительны ($\sin 3 > 0$), а значения косинуса отрицательны ($\cos 3 < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, $\sin 3 > \cos 3$.

Ответ: $\sin 3 > \cos 3$.

з) sin 3 или sin 5?

Сравним $\sin 3$ и $\sin 5$. Определим, в каких координатных четвертях находятся углы 3 и 5 радиан. Угол в 3 радиана находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} \approx 1.57 < 3 < \pi \approx 3.14$), поэтому его синус положителен: $\sin 3 > 0$. Угол в 5 радиан находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} \approx 4.71 < 5 < 2\pi \approx 6.28$), поэтому его синус отрицателен: $\sin 5 < 0$. Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $\sin 3 > \sin 5$.

Ответ: $\sin 3 > \sin 5$.

7.45 Определите знак произведения:

a) $ \cos 130^\circ \cdot \sin 170^\circ; $

б) $ \sin \frac{3\pi}{4} \cdot \cos \frac{2\pi}{3}; $

в) $ \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) \cdot \cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right); $

г) $ \cos \frac{11\pi}{4} \cdot \sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right). $

а) $cos 130^\circ \cdot sin 170^\circ$

Для определения знака произведения, определим знак каждого множителя отдельно.

1. Угол $130^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 130^\circ < 180^\circ$). Косинус во второй четверти отрицателен. Следовательно, $cos 130^\circ < 0$.

2. Угол $170^\circ$ также находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 170^\circ < 180^\circ$). Синус во второй четверти положителен. Следовательно, $sin 170^\circ > 0$.

3. Произведение отрицательного числа и положительного числа является отрицательным числом: $(-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: минус.

б) $sin\frac{3\pi}{4} \cdot cos\frac{2\pi}{3}$

1. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй координатной четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$). Синус во второй четверти положителен. Следовательно, $sin\frac{3\pi}{4} > 0$.

2. Угол $\frac{2\pi}{3}$ также находится во второй координатной четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$). Косинус во второй четверти отрицателен. Следовательно, $cos\frac{2\pi}{3} < 0$.

3. Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: минус.

в) $sin(-\frac{3\pi}{2}) \cdot cos(-\frac{5\pi}{6})$

1. Используем свойство нечетности синуса: $sin(-x) = -sin(x)$. $sin(-\frac{3\pi}{2}) = -sin(\frac{3\pi}{2})$. Значение $sin(\frac{3\pi}{2})$ равно $-1$. Таким образом, $sin(-\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$. Следовательно, $sin(-\frac{3\pi}{2}) > 0$.

2. Используем свойство четности косинуса: $cos(-x) = cos(x)$. $cos(-\frac{5\pi}{6}) = cos(\frac{5\pi}{6})$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй координатной четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$). Косинус во второй четверти отрицателен. Следовательно, $cos(-\frac{5\pi}{6}) < 0$.

3. Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: минус.

г) $cos\frac{11\pi}{4} \cdot sin(-\frac{17\pi}{3})$

1. Упростим аргумент косинуса, выделив полный оборот $2\pi$: $\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi + 3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}$. Поскольку косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, $cos(\frac{11\pi}{4}) = cos(\frac{3\pi}{4})$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $cos\frac{11\pi}{4} < 0$.

2. Используем свойство нечетности синуса: $sin(-\frac{17\pi}{3}) = -sin(\frac{17\pi}{3})$. Теперь упростим аргумент синуса, выделив полные обороты: $\frac{17\pi}{3} = \frac{12\pi + 5\pi}{3} = 4\pi + \frac{5\pi}{3} = 2 \cdot 2\pi + \frac{5\pi}{3}$. Поскольку синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, $sin(\frac{17\pi}{3}) = sin(\frac{5\pi}{3})$. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой координатной четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$), где синус отрицателен. Значит, $sin(\frac{17\pi}{3}) < 0$. Тогда $sin(-\frac{17\pi}{3}) = -sin(\frac{17\pi}{3}) = -(\text{отрицательное число}) > 0$.

3. Произведение отрицательного числа ($cos\frac{11\pi}{4}$) и положительного числа ($sin(-\frac{17\pi}{3})$) является отрицательным числом: $(-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: минус.