Страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.60 Если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $\sin \alpha = 1 + k$, то какие значения может принимать $k$? Определите $\cos \alpha$.

Какие значения может принимать k?

Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Это соответствует первой четверти единичной окружности. Для всех углов в этой четверти значение синуса строго больше 0 и строго меньше 1. Таким образом, мы имеем неравенство:

$0 < \sin \alpha < 1$

В задаче дано, что $\sin \alpha = 1 + k$. Подставим это выражение в наше неравенство:

$0 < 1 + k < 1$

Теперь решим это двойное неравенство относительно $k$. Для этого вычтем 1 из всех трех частей неравенства:

$0 - 1 < (1 + k) - 1 < 1 - 1$

$-1 < k < 0$

Таким образом, $k$ может принимать любые значения в интервале от -1 до 0, не включая концы интервала.

Ответ: $k \in (-1, 0)$.

Определите cos α.

Для нахождения $\cos \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Выразим из него $\cos^2 \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), значение его косинуса положительно. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень, взяв знак плюс:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$

Теперь подставим известное нам выражение $\sin \alpha = 1 + k$:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - (1 + k)^2}$

Раскроем скобки и упростим подкоренное выражение:

$1 - (1 + k)^2 = 1 - (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot k + k^2) = 1 - (1 + 2k + k^2) = 1 - 1 - 2k - k^2 = -2k - k^2$

Таким образом, мы получаем окончательное выражение для $\cos \alpha$:

$\cos \alpha = \sqrt{-2k - k^2}$

Это выражение имеет смысл, так как для найденного диапазона $-1 < k < 0$ подкоренное выражение $-k(2+k)$ всегда положительно.

Ответ: $\cos \alpha = \sqrt{-2k - k^2}$.

7.61 Вычислите:

а) $-6 \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) - 2 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) - 5 \sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \cos \frac{7\pi}{6};$

б) $3 \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 4 \cos \left(-\frac{11\pi}{2}\right) + 5 \sin 7\pi + \cos (-11\pi).$

а) $-6\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 5\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \cos\frac{7\pi}{6}$

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также формулами приведения.

1. Упростим каждый член выражения:

Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
$-6\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -6\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$-2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -2\left(-\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2\sin\frac{\pi}{6}$.
$-5\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -5\left(-\sin\frac{5\pi}{6}\right) = 5\sin\frac{5\pi}{6}$.

2. Применим формулы приведения:

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6}$.
$\cos\frac{7\pi}{6} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6}$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$-6\cos\frac{\pi}{6} + 2\sin\frac{\pi}{6} + 5\sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{6} = (-6-1)\cos\frac{\pi}{6} + (2+5)\sin\frac{\pi}{6} = -7\cos\frac{\pi}{6} + 7\sin\frac{\pi}{6}$.

4. Подставим табличные значения $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:

$-7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7 - 7\sqrt{3}}{2} = 3.5 - 3.5\sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{7 - 7\sqrt{3}}{2}$.

б) $3\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 4\cos\left(-\frac{11\pi}{2}\right) + 5\sin 7\pi + \cos(-11\pi)$

Для вычисления воспользуемся свойствами четности, нечетности и периодичности тригонометрических функций.

1. Упростим каждый член выражения:

$\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1$.
(Или используя периодичность: $\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$)

$\cos\left(-\frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{12\pi - \pi}{2}\right) = \cos\left(6\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
(Или $\cos\left(\frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(4\pi + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$)

$\sin(7\pi) = \sin(6\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$.
(Так как $\sin(k\pi) = 0$ для любого целого $k$)

$\cos(-11\pi) = \cos(11\pi) = \cos(10\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
(Так как $\cos(k\pi) = -1$ для любого нечетного целого $k$)

2. Подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$3 \cdot (1) - 4 \cdot (0) + 5 \cdot (0) + (-1) = 3 - 0 + 0 - 1 = 2$.

Ответ: 2.

7.62 Определите знак произведения:

a) $ \sin 157^\circ \cdot \sin 275^\circ \cdot \sin (-401^\circ) \cdot \sin 910^\circ \cdot \sin 328^\circ; $

б) $ \cos 73^\circ \cdot \cos 140^\circ \cdot \cos 236^\circ \cdot \cos 301^\circ \cdot \cos (-384^\circ) \cdot \cos 1000^\circ. $

Чтобы определить знак произведения $sin 157° \cdot sin 275° \cdot sin (–401°) \cdot sin 910° \cdot sin 328°$, необходимо определить знак каждого множителя.

Для определения знака тригонометрической функции используется единичная окружность, разделенная на четыре четверти:

• I четверть ($0°$ - $90°$): $sin \alpha > 0$, $cos \alpha > 0$
• II четверть ($90°$ - $180°$): $sin \alpha > 0$, $cos \alpha < 0$
• III четверть ($180°$ - $270°$): $sin \alpha < 0$, $cos \alpha < 0$
• IV четверть ($270°$ - $360°$): $sin \alpha < 0$, $cos \alpha > 0$

1. $sin 157°$: Угол $157°$ находится во II четверти ($90° < 157° < 180°$), где синус положителен. Следовательно, $sin 157° > 0$ (знак "+").

2. $sin 275°$: Угол $275°$ находится в IV четверти ($270° < 275° < 360°$), где синус отрицателен. Следовательно, $sin 275° < 0$ (знак "–").

3. $sin(–401°)$: Функция синус является нечетной, поэтому $sin(–\alpha) = –sin(\alpha)$. Значит, $sin(–401°) = –sin(401°)$. Чтобы найти четверть для угла $401°$, вычтем полный оборот $360°$: $401° = 360° + 41°$. Угол $41°$ находится в I четверти, где синус положителен ($sin 41° > 0$). Таким образом, $sin(–401°) = –sin(41°) < 0$ (знак "–").

4. $sin 910°$: Приведем угол к основному, вычитая полные обороты: $910° = 2 \cdot 360° + 190° = 720° + 190°$. Угол $190°$ находится в III четверти ($180° < 190° < 270°$), где синус отрицателен. Следовательно, $sin 910° < 0$ (знак "–").

5. $sin 328°$: Угол $328°$ находится в IV четверти ($270° < 328° < 360°$), где синус отрицателен. Следовательно, $sin 328° < 0$ (знак "–").

Теперь определим знак всего произведения, перемножая знаки множителей: $(+) \cdot (–) \cdot (–) \cdot (–) \cdot (–)$. В произведении четыре отрицательных множителя и один положительный. Произведение четного числа отрицательных множителей является положительным числом.

Ответ: плюс.

Определим знак произведения $cos 73° \cdot cos 140° \cdot cos 236° \cdot cos 301° \cdot cos(–384°) \cdot cos 1000°$, найдя знак каждого множителя.

1. $cos 73°$: Угол $73°$ находится в I четверти ($0° < 73° < 90°$), где косинус положителен. Следовательно, $cos 73° > 0$ (знак "+").

2. $cos 140°$: Угол $140°$ находится во II четверти ($90° < 140° < 180°$), где косинус отрицателен. Следовательно, $cos 140° < 0$ (знак "–").

3. $cos 236°$: Угол $236°$ находится в III четверти ($180° < 236° < 270°$), где косинус отрицателен. Следовательно, $cos 236° < 0$ (знак "–").

4. $cos 301°$: Угол $301°$ находится в IV четверти ($270° < 301° < 360°$), где косинус положителен. Следовательно, $cos 301° > 0$ (знак "+").

5. $cos(–384°)$: Функция косинус является четной, поэтому $cos(–\alpha) = cos(\alpha)$. Значит, $cos(–384°) = cos(384°)$. Приведем угол $384°$ к основному виду: $384° = 360° + 24°$. Угол $24°$ находится в I четверти, где косинус положителен. Следовательно, $cos(–384°) > 0$ (знак "+").

6. $cos 1000°$: Приведем угол к основному виду: $1000° = 2 \cdot 360° + 280° = 720° + 280°$. Угол $280°$ находится в IV четверти ($270° < 280° < 360°$), где косинус положителен. Следовательно, $cos 1000° > 0$ (знак "+").

Определим знак всего произведения, перемножив знаки множителей: $(+) \cdot (–) \cdot (–) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+)$. В произведении два отрицательных множителя и четыре положительных. Произведение четного числа отрицательных множителей является положительным числом.

Ответ: плюс.

7.63 Найдите все углы $ \alpha $ из интервала $ (0; 2\pi) $, для каждого из которых справедливо равенство:

a) $ |\sin \alpha| = \sin \alpha; $

б) $ |\cos \alpha| = -\cos \alpha. $

а)

Равенство вида $|x| = x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. В данном случае $x = \sin \alpha$. Следовательно, равенство $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ выполняется при условии $\sin \alpha \ge 0$.
Нам нужно найти все углы $\alpha$ из интервала $(0; 2\pi)$, для которых синус неотрицателен.
Синус является неотрицательным (положительным или равным нулю) в первой и второй координатных четвертях.
Это соответствует углам $\alpha$, удовлетворяющим неравенству $0 \le \alpha \le \pi$ на промежутке $[0, 2\pi]$.
Теперь необходимо учесть, что искомые углы должны принадлежать строгому интервалу $(0; 2\pi)$. Пересекая множество решений $[0, \pi]$ с интервалом $(0; 2\pi)$, получаем:
- Угол $\alpha=0$ не входит в интервал $(0; 2\pi)$. - Углы из интервала $(0, \pi)$ входят в искомый промежуток. - Угол $\alpha=\pi$ входит в интервал $(0; 2\pi)$ и $\sin \pi = 0$, что удовлетворяет условию.
Таким образом, искомые значения $\alpha$ принадлежат полуинтервалу $(0, \pi]$.

Ответ: $\alpha \in (0, \pi]$.

б)

Равенство вида $|x| = -x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x \le 0$.
В данном случае $x = \cos \alpha$. Следовательно, равенство $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ выполняется при условии $\cos \alpha \le 0$.
Нам нужно найти все углы $\alpha$ из интервала $(0; 2\pi)$, для которых косинус неположителен.
Косинус является неположительным (отрицательным или равным нулю) во второй и третьей координатных четвертях.
Это соответствует углам $\alpha$, удовлетворяющим неравенству $\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{3\pi}{2}$ на промежутке $[0, 2\pi]$.
Проверим, принадлежит ли этот отрезок заданному интервалу $(0; 2\pi)$.
Так как $0 < \frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < 2\pi$, весь отрезок $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ целиком лежит внутри интервала $(0; 2\pi)$.
Таким образом, искомые значения $\alpha$ принадлежат отрезку $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

7.64 Расположите в порядке возрастания числа:

a) $sin (-55^\circ)$, $sin 600^\circ$, $sin 1295^\circ$;

б) $cos 653^\circ$, $cos (-68^\circ)$, $cos 295^\circ$.

а) Чтобы расположить числа $sin(-55^\circ)$, $sin(600^\circ)$, $sin(1295^\circ)$ в порядке возрастания, приведем аргументы тригонометрических функций к одному диапазону, используя периодичность и свойства синуса. Период синуса равен $360^\circ$.

1. Рассмотрим $sin(-55^\circ)$. Функция синус является нечетной, поэтому $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
$sin(-55^\circ) = -sin(55^\circ)$. Угол $55^\circ$ находится в первой четверти, где синус положителен, значит $sin(-55^\circ)$ - отрицательное число.

2. Рассмотрим $sin(600^\circ)$. Приведем угол к промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$:
$600^\circ = 360^\circ + 240^\circ$.
Следовательно, $sin(600^\circ) = sin(240^\circ)$. Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен.
Используя формулу приведения: $sin(240^\circ) = sin(180^\circ + 60^\circ) = -sin(60^\circ)$.

3. Рассмотрим $sin(1295^\circ)$. Приведем угол к промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$:
$1295^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 215^\circ = 1080^\circ + 215^\circ$.
Следовательно, $sin(1295^\circ) = sin(215^\circ)$. Угол $215^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 215^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен.
Используя формулу приведения: $sin(215^\circ) = sin(180^\circ + 35^\circ) = -sin(35^\circ)$.

Теперь нам нужно сравнить три отрицательных числа: $-sin(55^\circ)$, $-sin(60^\circ)$ и $-sin(35^\circ)$.
Для этого сравним положительные значения $sin(35^\circ)$, $sin(55^\circ)$ и $sin(60^\circ)$.
В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция синуса возрастает. Поскольку $35^\circ < 55^\circ < 60^\circ$, то $sin(35^\circ) < sin(55^\circ) < sin(60^\circ)$.
При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный:
$-sin(35^\circ) > -sin(55^\circ) > -sin(60^\circ)$.
Подставляя исходные выражения, получаем:
$sin(1295^\circ) > sin(-55^\circ) > sin(600^\circ)$.

Располагая числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем: $sin(600^\circ)$, $sin(-55^\circ)$, $sin(1295^\circ)$.
Ответ: $sin(600^\circ)$, $sin(-55^\circ)$, $sin(1295^\circ)$.

б) Чтобы расположить числа $cos(653^\circ)$, $cos(-68^\circ)$, $cos(295^\circ)$ в порядке возрастания, приведем аргументы к удобному для сравнения виду. Период косинуса равен $360^\circ$.

1. Рассмотрим $cos(653^\circ)$. Приведем угол к промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$:
$653^\circ = 360^\circ + 293^\circ$.
Следовательно, $cos(653^\circ) = cos(293^\circ)$. Угол $293^\circ$ находится в четвертой четверти ($270^\circ < 293^\circ < 360^\circ$), где косинус положителен.
Используя формулу приведения: $cos(293^\circ) = cos(360^\circ - 67^\circ) = cos(67^\circ)$.

2. Рассмотрим $cos(-68^\circ)$. Функция косинус является четной, поэтому $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
$cos(-68^\circ) = cos(68^\circ)$. Угол $68^\circ$ находится в первой четверти, где косинус положителен.

3. Рассмотрим $cos(295^\circ)$. Угол $295^\circ$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен.
Используя формулу приведения: $cos(295^\circ) = cos(360^\circ - 65^\circ) = cos(65^\circ)$.

Теперь нам нужно сравнить три положительных числа: $cos(67^\circ)$, $cos(68^\circ)$ и $cos(65^\circ)$.
В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция косинуса убывает. Поскольку $65^\circ < 67^\circ < 68^\circ$, то $cos(65^\circ) > cos(67^\circ) > cos(68^\circ)$.
Подставляя исходные выражения, получаем:
$cos(295^\circ) > cos(653^\circ) > cos(-68^\circ)$.

Располагая числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем: $cos(-68^\circ)$, $cos(653^\circ)$, $cos(295^\circ)$.
Ответ: $cos(-68^\circ)$, $cos(653^\circ)$, $cos(295^\circ)$.

Сравните (7.65—7.67):

7.65

a) $ \sin 91^\circ $ и $ \sin 92^\circ $;

б) $ \sin 195^\circ $ и $ \sin 200^\circ $;

в) $ \sin 354^\circ $ и $ \sin 959^\circ $;

г) $ \sin 734^\circ $ и $ \sin (-1066^\circ) $.

а) Сравним $sin(91^\circ)$ и $sin(92^\circ)$.
Оба угла, $91^\circ$ и $92^\circ$, находятся во второй четверти единичной окружности (от $90^\circ$ до $180^\circ$). В этой четверти функция синуса является убывающей, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение синуса.
Поскольку $91^\circ < 92^\circ$, то $sin(91^\circ) > sin(92^\circ)$.
Ответ: $sin(91^\circ) > sin(92^\circ)$.

б) Сравним $sin(195^\circ)$ и $sin(200^\circ)$.
Оба угла, $195^\circ$ и $200^\circ$, находятся в третьей четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$). В этой четверти функция синуса также убывает. Это означает, что при увеличении угла значение синуса уменьшается.
Так как $195^\circ < 200^\circ$, то $sin(195^\circ) > sin(200^\circ)$.
Ответ: $sin(195^\circ) > sin(200^\circ)$.

в) Сравним $sin(354^\circ)$ и $sin(959^\circ)$.
Сначала приведем углы к основному промежутку от $0^\circ$ до $360^\circ$, используя периодичность функции синуса ($sin(x) = sin(x + 360^\circ \cdot k)$ для целого $k$).
Угол $354^\circ$ уже находится в этом промежутке. Он принадлежит четвертой четверти.
Для угла $959^\circ$: $959^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 239^\circ = 720^\circ + 239^\circ$.
Следовательно, $sin(959^\circ) = sin(239^\circ)$. Угол $239^\circ$ находится в третьей четверти.
Теперь сравним $sin(354^\circ)$ и $sin(239^\circ)$. В третьей и четвертой четвертях значения синуса отрицательны.
Используем формулы приведения:
$sin(354^\circ) = sin(360^\circ - 6^\circ) = -sin(6^\circ)$.
$sin(239^\circ) = sin(180^\circ + 59^\circ) = -sin(59^\circ)$.
Нам нужно сравнить $-sin(6^\circ)$ и $-sin(59^\circ)$. Для этого сравним $sin(6^\circ)$ и $sin(59^\circ)$.
В первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция синуса возрастает. Поскольку $6^\circ < 59^\circ$, то $sin(6^\circ) < sin(59^\circ)$.
При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-sin(6^\circ) > -sin(59^\circ)$.
Таким образом, $sin(354^\circ) > sin(959^\circ)$.
Ответ: $sin(354^\circ) > sin(959^\circ)$.

г) Сравним $sin(734^\circ)$ и $sin(-1066^\circ)$.
Приведем оба угла к основному промежутку, используя периодичность синуса.
Для первого значения: $734^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 14^\circ = 720^\circ + 14^\circ$.
Следовательно, $sin(734^\circ) = sin(14^\circ)$.
Для второго значения прибавим кратное $360^\circ$, чтобы получить угол в основном промежутке.
$sin(-1066^\circ) = sin(-1066^\circ + 3 \cdot 360^\circ) = sin(-1066^\circ + 1080^\circ) = sin(14^\circ)$.
Поскольку оба выражения равны $sin(14^\circ)$, то они равны между собой.
Ответ: $sin(734^\circ) = sin(-1066^\circ)$.

7.66 a) $\cos 101^\circ$ и $\cos 157^\circ$;

б) $\cos 190^\circ$ и $\cos 200^\circ$;

в) $\cos 1000^\circ$ и $\cos 2000^\circ$;

г) $\cos 860^\circ$ и $\cos 510^\circ$.

а) cos 101° и cos 157°

Для сравнения значений косинусов воспользуемся свойствами функции $y = \cos(x)$. На промежутке от $0^\circ$ до $180^\circ$ функция косинуса является убывающей. Это означает, что для любых двух углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ из этого промежутка, если $\alpha_1 < \alpha_2$, то $\cos(\alpha_1) > \cos(\alpha_2)$.

Оба угла, $101^\circ$ и $157^\circ$, принадлежат промежутку $[90^\circ, 180^\circ]$, который является частью промежутка $[0^\circ, 180^\circ]$, где косинус убывает.

Поскольку $101^\circ < 157^\circ$, то, согласно свойству убывания функции косинуса на этом промежутке, имеем $\cos(101^\circ) > \cos(157^\circ)$.

Ответ: $\cos(101^\circ) > \cos(157^\circ)$.

б) cos 190° и cos 200°

На промежутке от $180^\circ$ до $360^\circ$ функция косинуса является возрастающей. Это означает, что для любых двух углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ из этого промежутка, если $\alpha_1 < \alpha_2$, то $\cos(\alpha_1) < \cos(\alpha_2)$.

Оба угла, $190^\circ$ и $200^\circ$, принадлежат промежутку $[180^\circ, 270^\circ]$, который является частью промежутка $[180^\circ, 360^\circ]$, где косинус возрастает.

Поскольку $190^\circ < 200^\circ$, то, согласно свойству возрастания функции косинуса на этом промежутке, имеем $\cos(190^\circ) < \cos(200^\circ)$.

Ответ: $\cos(190^\circ) < \cos(200^\circ)$.

в) cos 1000° и cos 2000°

Функция косинуса является периодической с периодом $360^\circ$, то есть $\cos(\alpha) = \cos(\alpha + 360^\circ \cdot n)$ для любого целого $n$. Приведем углы к основному промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$.

Для угла $1000^\circ$:
$1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ = 720^\circ + 280^\circ$.
Следовательно, $\cos(1000^\circ) = \cos(280^\circ)$. Угол $280^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$), где косинус положителен.

Для угла $2000^\circ$:
$2000^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 200^\circ = 1800^\circ + 200^\circ$.
Следовательно, $\cos(2000^\circ) = \cos(200^\circ)$. Угол $200^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$), где косинус отрицателен.

Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $\cos(280^\circ) > \cos(200^\circ)$.

Ответ: $\cos(1000^\circ) > \cos(2000^\circ)$.

г) cos 860° и cos 510°

Приведем углы к основному промежутку $[0^\circ, 360^\circ)$, используя периодичность функции косинуса.

Для угла $860^\circ$:
$860^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 140^\circ = 720^\circ + 140^\circ$.
Следовательно, $\cos(860^\circ) = \cos(140^\circ)$.

Для угла $510^\circ$:
$510^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 150^\circ = 360^\circ + 150^\circ$.
Следовательно, $\cos(510^\circ) = \cos(150^\circ)$.

Теперь нужно сравнить $\cos(140^\circ)$ и $\cos(150^\circ)$. Оба угла, $140^\circ$ и $150^\circ$, находятся во II четверти, которая является частью промежутка $[0^\circ, 180^\circ]$, где функция косинуса убывает.

Поскольку $140^\circ < 150^\circ$, из свойства убывания функции косинуса следует, что $\cos(140^\circ) > \cos(150^\circ)$.

Ответ: $\cos(860^\circ) > \cos(510^\circ)$.

7.67 а) $cos 1,6\pi$ и $cos 1,68\pi$;

б) $sin 4,5$ и $0$;

в) $cos 5,1\pi$ и $cos 5\pi$;

г) $sin 1$ и $cos 1$.

а) Для того чтобы сравнить $\cos 1,6\pi$ и $\cos 1,68\pi$, рассмотрим поведение функции $y = \cos x$. Оба угла, $1,6\pi$ и $1,68\pi$, находятся в промежутке от $1,5\pi$ до $2\pi$, что соответствует четвертой координатной четверти. На промежутке $[\pi, 2\pi]$ функция $y = \cos x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $1,6\pi < 1,68\pi$, из свойства возрастания функции на данном промежутке следует, что $\cos 1,6\pi < \cos 1,68\pi$.

Ответ: $\cos 1,6\pi < \cos 1,68\pi$

б) Чтобы сравнить $\sin 4,5$ и $0$, нужно определить знак синуса для угла $4,5$ радиана. Для этого оценим, в какой четверти находится данный угол. Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получаем: $\pi \approx 3,14$ и $1,5\pi \approx 1,5 \cdot 3,14 = 4,71$. Так как $\pi < 4,5 < 1,5\pi$, угол $4,5$ радиана лежит в третьей координатной четверти. В третьей четверти значения функции синус отрицательны. Любое отрицательное число меньше нуля, следовательно, $\sin 4,5 < 0$.

Ответ: $\sin 4,5 < 0$

в) Сравним $\cos 5,1\pi$ и $\cos 5\pi$. Воспользуемся периодичностью функции косинус, период которой равен $2\pi$.
$\cos 5\pi = \cos(4\pi + \pi) = \cos \pi = -1$.
Рассмотрим аргументы $5\pi$ и $5,1\pi$. Оба угла можно рассматривать на промежутке $[5\pi, 6\pi]$. На этом промежутке, как и на промежутке $[\pi, 2\pi]$, функция $y = \cos x$ возрастает. Так как $5\pi < 5,1\pi$, то и значения функции будут находиться в том же соотношении: $\cos 5\pi < \cos 5,1\pi$.

Ответ: $\cos 5,1\pi > \cos 5\pi$

г) Для сравнения $\sin 1$ и $\cos 1$ (угол $1$ дан в радианах), определим, в какой четверти он находится. Поскольку $0 < 1 < \pi/2$ (так как $\pi/2 \approx 1,57$), угол в $1$ радиан расположен в первой четверти, где и синус, и косинус положительны. В первой четверти $\sin x = \cos x$ при $x = \pi/4$. Оценим значение $\pi/4 \approx 3,14/4 = 0,785$. Мы видим, что $1 > \pi/4$. На промежутке от $\pi/4$ до $\pi/2$ линия синуса на тригонометрической окружности проходит выше линии косинуса, что означает $\sin x > \cos x$ для $x \in (\pi/4, \pi/2)$. Так как $1$ радиан попадает в этот интервал, то $\sin 1 > \cos 1$.

Ответ: $\sin 1 > \cos 1$

7.68 Докажите справедливость равенства:

a) $sin(\pi - \alpha) = sin \alpha$;

б) $cos(\pi - \alpha) = -cos \alpha$;

в) $sin(3\pi - \alpha) = sin \alpha$;

г) $cos(5\pi - \alpha) = -cos \alpha$.

а) Для доказательства равенства $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ используем формулу синуса разности углов: $sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$. Подставим в нее $x=\pi$ и $y=\alpha$: $sin(\pi - \alpha) = sin(\pi)cos(\alpha) - cos(\pi)sin(\alpha)$. Поскольку значения тригонометрических функций $sin(\pi)=0$ и $cos(\pi)=-1$, то выражение принимает вид: $sin(\pi - \alpha) = 0 \cdot cos(\alpha) - (-1) \cdot sin(\alpha) = sin(\alpha)$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства равенства $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$ используем формулу косинуса разности углов: $cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$. Подставим в нее $x=\pi$ и $y=\alpha$: $cos(\pi - \alpha) = cos(\pi)cos(\alpha) + sin(\pi)sin(\alpha)$. Так как $cos(\pi)=-1$ и $sin(\pi)=0$, выражение упрощается до: $(-1) \cdot cos(\alpha) + 0 \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства равенства $sin(3\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ используем свойство периодичности функции синус, период которой составляет $2\pi$. Это означает, что $sin(z) = sin(z - 2k\pi)$ для любого целого $k$. Упростим выражение: $sin(3\pi - \alpha) = sin(3\pi - 2\pi - \alpha) = sin(\pi - \alpha)$. Из пункта а) известно, что $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$. Следовательно, $sin(3\pi - \alpha) = sin(\alpha)$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

г) Для доказательства равенства $cos(5\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$ используем свойство периодичности функции косинус, период которой равен $2\pi$. Это означает, что $cos(z) = cos(z - 2k\pi)$ для любого целого $k$. Упростим выражение, вычтя два полных оборота ($4\pi$): $cos(5\pi - \alpha) = cos(5\pi - 4\pi - \alpha) = cos(\pi - \alpha)$. Из пункта б) известно, что $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$. Следовательно, $cos(5\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

7.69 Упростите выражение:

а) $ \sin (-\alpha + \pi); $

б) $ \cos (\pi - \alpha); $

в) $ \sin (\alpha + 7\pi); $

г) $ \cos (\alpha - 9\pi). $

а) Для упрощения выражения $sin(-\alpha + \pi)$ воспользуемся формулами приведения. Сначала перепишем выражение в более удобном виде, поменяв слагаемые местами: $sin(\pi - \alpha)$.

Согласно формуле приведения, для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$. Это можно увидеть на тригонометрической окружности: углы $\alpha$ и $\pi - \alpha$ симметричны относительно оси ординат, поэтому их синусы равны.

Таким образом, $sin(-\alpha + \pi) = sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$.

б) Для упрощения выражения $cos(\pi - \alpha)$ также применим формулу приведения.

Согласно формуле приведения, для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$. На тригонометрической окружности углы $\alpha$ и $\pi - \alpha$ симметричны относительно оси ординат, поэтому их косинусы противоположны по знаку.

Ответ: $-cos(\alpha)$.

в) Для упрощения выражения $sin(\alpha + 7\pi)$ используем свойство периодичности функции синус. Период синуса равен $2\pi$, то есть $sin(x + 2\pi k) = sin(x)$ для любого целого числа $k$.

Представим $7\pi$ как $6\pi + \pi$. Поскольку $6\pi$ является целым кратным периода ($6\pi = 3 \cdot 2\pi$), его можно отбросить:

$sin(\alpha + 7\pi) = sin(\alpha + \pi + 6\pi) = sin(\alpha + \pi)$.

Далее применим формулу приведения для $sin(\pi + \alpha)$. Для любого угла $\alpha$ справедливо равенство $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$. Углы $\alpha$ и $\pi + \alpha$ симметричны относительно начала координат, поэтому их синусы противоположны.

Ответ: $-sin(\alpha)$.

г) Для упрощения выражения $cos(\alpha - 9\pi)$ воспользуемся свойствами четности и периодичности функции косинус.

Во-первых, функция косинус является четной, то есть $cos(-x) = cos(x)$. Поэтому мы можем изменить знак всего аргумента:

$cos(\alpha - 9\pi) = cos(- (9\pi - \alpha)) = cos(9\pi - \alpha)$.

Во-вторых, используем периодичность косинуса (период $2\pi$). Представим $9\pi$ как $8\pi + \pi$. Поскольку $8\pi$ является целым кратным периода ($8\pi = 4 \cdot 2\pi$), его можно отбросить:

$cos(9\pi - \alpha) = cos(8\pi + \pi - \alpha) = cos(\pi - \alpha)$.

Используя формулу приведения (как в пункте б), получаем:

$cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.

Ответ: $-cos(\alpha)$.

7.70 Вычислите:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{4} + 3\pi\right);$

б) $\cos\left(\frac{\pi}{3} - 8\pi\right);$

в) $\sin\left(9\frac{5}{6}\pi\right).$

а) Чтобы вычислить значение $ \sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi) $, воспользуемся свойством периодичности синуса. Период функции синус равен $ 2\pi $, то есть $ \sin(x + 2k\pi) = \sin(x) $ для любого целого $ k $.

Представим $ 3\pi $ как $ 2\pi + \pi $. Тогда выражение примет вид:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + 3\pi) = \sin(\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi) $

Отбрасывая период $ 2\pi $, получаем:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + \pi) $

Теперь используем формулу приведения $ \sin(x + \pi) = -\sin(x) $:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + \pi) = -\sin(\frac{\pi}{4}) $

Значение синуса для угла $ \frac{\pi}{4} $ является табличным: $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Следовательно, итоговый результат:

$ -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

б) Для вычисления $ \cos(\frac{\pi}{3} - 8\pi) $ воспользуемся свойством периодичности косинуса. Период функции косинус также равен $ 2\pi $, то есть $ \cos(x + 2k\pi) = \cos(x) $ для любого целого $ k $.

В нашем случае $ -8\pi $ является целым кратным периода $ 2\pi $, так как $ -8\pi = -4 \cdot 2\pi $.

Поэтому мы можем отбросить $ -8\pi $ из аргумента косинуса:

$ \cos(\frac{\pi}{3} - 8\pi) = \cos(\frac{\pi}{3}) $

Значение косинуса для угла $ \frac{\pi}{3} $ является табличным:

$ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Чтобы вычислить $ \sin(9\frac{5}{6}\pi) $, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$ 9\frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{54+5}{6} = \frac{59}{6} $

Таким образом, нам нужно найти $ \sin(\frac{59}{6}\pi) $.

Теперь воспользуемся периодичностью синуса. Выделим из аргумента целое число периодов $ 2\pi $. Для этого представим дробь $ \frac{59}{6} $ в виде суммы целой и дробной части:

$ \frac{59\pi}{6} = (8 + \frac{11}{6})\pi = 8\pi + \frac{11\pi}{6} $

Так как $ 8\pi = 4 \cdot 2\pi $, это четыре полных периода, которые можно отбросить:

$ \sin(\frac{59}{6}\pi) = \sin(8\pi + \frac{11}{6}\pi) = \sin(\frac{11}{6}\pi) $

Для нахождения значения $ \sin(\frac{11\pi}{6}) $ можно использовать формулу приведения, представив $ \frac{11\pi}{6} $ как $ 2\pi - \frac{\pi}{6} $:

$ \sin(\frac{11\pi}{6}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) $

Поскольку синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin(x) $):

$ \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) $

Табличное значение $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $.

Следовательно:

$ -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} $

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

Отметьте точки единичной окружности, соответствующие углам $\alpha$, для каждого из которых выполняется равенство, и задайте эти углы формулами (7.71–7.72):

7.71 а) $\sin \alpha = 1$;
7.71 б) $\sin \alpha = -1$;
7.71 в) $\sin \alpha = 0$;
7.71 г) $\cos \alpha = 1$;
7.71 д) $\cos \alpha = -1$;
7.71 е) $\cos \alpha = 0$.

а) $sin \alpha = 1$

На единичной окружности синус угла $\alpha$ соответствует ординате (координате $y$) точки. Следовательно, нам нужно найти точку на окружности с координатой $y = 1$. Уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$. Подставив $y = 1$, получим $x^2 + 1^2 = 1$, откуда $x=0$. Таким образом, искомая точка — это $(0, 1)$. Эта точка находится на положительной части оси $Oy$ и соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку функция синуса является периодической с периодом $2\pi$, все углы, удовлетворяющие уравнению, находятся путем добавления к $\frac{\pi}{2}$ целых чисел, умноженных на $2\pi$. Общая формула для таких углов имеет вид:

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $sin \alpha = -1$

Нам нужно найти точку на единичной окружности с ординатой $y = -1$. Подставив $y = -1$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$, получим $x^2 + (-1)^2 = 1$, откуда $x=0$. Искомая точка — это $(0, -1)$. Эта точка находится на отрицательной части оси $Oy$ и соответствует углу $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).

С учётом периодичности функции синуса (период $2\pi$), общая формула для всех углов, удовлетворяющих данному равенству, такова:

Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $sin \alpha = 0$

Нам нужно найти точки на единичной окружности, у которых ордината $y = 0$. Подставив $y = 0$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$, получим $x^2 + 0^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$. Таким образом, есть две точки: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Точка $(1, 0)$ соответствует углу $\alpha = 0$ (и всем углам вида $2\pi k$). Точка $(-1, 0)$ соответствует углу $\alpha = \pi$ (и всем углам вида $\pi + 2\pi k$). Эти две серии решений можно объединить в одну формулу, заметив, что точки повторяются каждые пол-оборота, то есть через $\pi$ радиан.

Ответ: $\alpha = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $cos \alpha = 1$

На единичной окружности косинус угла $\alpha$ соответствует абсциссе (координате $x$) точки. Нам нужно найти точку с координатой $x=1$. Подставив $x = 1$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$, получим $1^2 + y^2 = 1$, откуда $y=0$. Искомая точка — это $(1, 0)$. Она находится на положительной части оси $Ox$ и соответствует углу $\alpha = 0$.

Функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, поэтому все решения описываются формулой:

Ответ: $\alpha = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) $cos \alpha = -1$

Нам нужно найти точку на единичной окружности с абсциссой $x = -1$. Подставив $x = -1$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$, получим $(-1)^2 + y^2 = 1$, откуда $y=0$. Искомая точка — это $(-1, 0)$. Она находится на отрицательной части оси $Ox$ и соответствует углу $\alpha = \pi$.

С учётом периодичности функции косинуса (период $2\pi$), общая формула для всех решений имеет вид:

Ответ: $\alpha = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) $cos \alpha = 0$

Нам нужно найти точки на единичной окружности, у которых абсцисса $x = 0$. Подставив $x = 0$ в уравнение $x^2 + y^2 = 1$, получим $0^2 + y^2 = 1$, откуда $y = \pm 1$. Таким образом, есть две точки: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

Точка $(0, 1)$ соответствует углу $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Точка $(0, -1)$ соответствует углу $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$). Эти две точки расположены на оси $Oy$ и диаметрально противоположны, то есть расстояние между ними по окружности составляет $\pi$ радиан. Можно взять одну из точек (например, $\frac{\pi}{2}$) и прибавлять к ней целые кратные $\pi$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.