Номер 7.61, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.61, страница 215.

7.61 Вычислите:

а) $-6 \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) - 2 \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) - 5 \sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \cos \frac{7\pi}{6};$

б) $3 \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 4 \cos \left(-\frac{11\pi}{2}\right) + 5 \sin 7\pi + \cos (-11\pi).$

а) $-6\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 5\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \cos\frac{7\pi}{6}$

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также формулами приведения.

1. Упростим каждый член выражения:

Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
$-6\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -6\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$-2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -2\left(-\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2\sin\frac{\pi}{6}$.
$-5\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -5\left(-\sin\frac{5\pi}{6}\right) = 5\sin\frac{5\pi}{6}$.

2. Применим формулы приведения:

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6}$.
$\cos\frac{7\pi}{6} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6}$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$-6\cos\frac{\pi}{6} + 2\sin\frac{\pi}{6} + 5\sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{6} = (-6-1)\cos\frac{\pi}{6} + (2+5)\sin\frac{\pi}{6} = -7\cos\frac{\pi}{6} + 7\sin\frac{\pi}{6}$.

4. Подставим табличные значения $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:

$-7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7 - 7\sqrt{3}}{2} = 3.5 - 3.5\sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{7 - 7\sqrt{3}}{2}$.

б) $3\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 4\cos\left(-\frac{11\pi}{2}\right) + 5\sin 7\pi + \cos(-11\pi)$

Для вычисления воспользуемся свойствами четности, нечетности и периодичности тригонометрических функций.

1. Упростим каждый член выражения:

$\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1$.
(Или используя периодичность: $\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$)

$\cos\left(-\frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{12\pi - \pi}{2}\right) = \cos\left(6\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
(Или $\cos\left(\frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(4\pi + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$)

$\sin(7\pi) = \sin(6\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$.
(Так как $\sin(k\pi) = 0$ для любого целого $k$)

$\cos(-11\pi) = \cos(11\pi) = \cos(10\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
(Так как $\cos(k\pi) = -1$ для любого нечетного целого $k$)

2. Подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$3 \cdot (1) - 4 \cdot (0) + 5 \cdot (0) + (-1) = 3 - 0 + 0 - 1 = 2$.

Ответ: 2.