Номер 7.58, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.58, страница 214.

7.58 a) $ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $;

б) $ \frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} $;

в) $ \frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha} $;

г) $ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha - 1} $;

где угол $\alpha$ такой, что знаменатель не обращается в нуль.

а) Для упрощения выражения $ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Из этого тождества следует, что $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $

Поскольку по условию задачи знаменатель не обращается в нуль ($ \cos^2 \alpha \neq 0 $), мы можем сократить дробь, получив в результате 1.

Ответ: $ 1 $

б) Рассмотрим выражение $ \frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} $.

Снова обратимся к основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Перенесем 1 в левую часть, а $ \sin^2 \alpha $ в правую:

$ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $.

Теперь подставим полученное выражение в числитель дроби:

$ \frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} = \frac{-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $

Так как по условию $ \sin^2 \alpha \neq 0 $, мы можем сократить дробь.

$ \frac{-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -1 $

Ответ: $ -1 $

в) Упростим выражение $ \frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha} $.

Из основного тригонометрического тождества выразим $ \sin^2 \alpha $: $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $.

Подставим это в числитель:

$ \frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 + \cos \alpha} $

Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ 1 - \cos^2 \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) $

Дробь принимает вид:

$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha} $

По условию знаменатель $ 1 + \cos \alpha \neq 0 $, поэтому мы можем сократить дробь на общий множитель $ (1 + \cos \alpha) $.

$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha} = 1 - \cos \alpha $

Ответ: $ 1 - \cos \alpha $

г) Рассмотрим выражение $ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha - 1} $.

Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $ \cos^2 \alpha $ на $ 1 - \sin^2 \alpha $:

$ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha - 1} $

Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$ 1 - \sin^2 \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) $

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha - 1} $

Заметим, что множитель в знаменателе $ (\sin \alpha - 1) $ отличается от множителя в числителе $ (1 - \sin \alpha) $ только знаком. Вынесем минус за скобки в знаменателе: $ \sin \alpha - 1 = -(1 - \sin \alpha) $.

$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{-(1 - \sin \alpha)} $

По условию $ \sin \alpha - 1 \neq 0 $, следовательно, и $ 1 - \sin \alpha \neq 0 $. Сокращаем дробь на $ (1 - \sin \alpha) $:

$ \frac{1 + \sin \alpha}{-1} = -(1 + \sin \alpha) = -1 - \sin \alpha $

Ответ: $ -1 - \sin \alpha $