Номер 7.57, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.57, страница 214.

7.57 а) $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)$;

б) $(\cos \alpha - 1)(1 + \cos \alpha)$;

в) $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1$;

г) $1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.

а) Чтобы упростить выражение $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)$, воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=1$ и $b=\sin \alpha$.

$(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Далее применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Таким образом, исходное выражение равно $\cos^2 \alpha$.

Ответ: $\cos^2 \alpha$

б) Упростим выражение $(\cos \alpha - 1)(1 + \cos \alpha)$. Это также является формулой разности квадратов. Переставим слагаемые для наглядности: $(\cos \alpha - 1)(\cos \alpha + 1)$.

Применим формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=\cos \alpha$ и $b=1$.

$(\cos \alpha - 1)(\cos \alpha + 1) = \cos^2 \alpha - 1^2 = \cos^2 \alpha - 1$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ выразим $\cos^2 \alpha - 1$. Перенеся 1 в левую часть, а $\sin^2 \alpha$ в правую, получим $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Следовательно, результат упрощения равен $-\sin^2 \alpha$.

Ответ: $-\sin^2 \alpha$

в) Рассмотрим выражение $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, мы можем заменить 1 на сумму квадратов синуса и косинуса.

$\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1 = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные члены:

$(\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (-\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 2\cos^2 \alpha + 0 = 2\cos^2 \alpha$.

Альтернативный способ: заменить $\sin^2 \alpha$ на $1 - \cos^2 \alpha$.

$\cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha) + 1 = \cos^2 \alpha - 1 + \cos^2 \alpha + 1 = 2\cos^2 \alpha$.

Ответ: $2\cos^2 \alpha$

г) Упростим выражение $1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.

Заменим 1 на $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ из основного тригонометрического тождества.

$1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 2\sin^2 \alpha + 0 = 2\sin^2 \alpha$.

Альтернативный способ: заменить $\cos^2 \alpha$ на $1 - \sin^2 \alpha$.

$1 + \sin^2 \alpha - (1 - \sin^2 \alpha) = 1 + \sin^2 \alpha - 1 + \sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha$.

Ответ: $2\sin^2 \alpha$