Номер 7.56, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.56, страница 214.

Упростите выражение (7.56–7.59):

7.56 а) $1 - \sin^2 \alpha$;
б) $1 - \cos^2 \alpha$;
в) $\sin^2 \alpha - 1$;
г) $\cos^2 \alpha - 1$.

Для упрощения всех выражений в этом задании используется основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $

а) Рассмотрим выражение $ 1 - \sin^2 \alpha $. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, мы можем выразить $ \cos^2 \alpha $. Для этого перенесем $ \sin^2 \alpha $ в правую часть уравнения: $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $. Таким образом, исходное выражение можно заменить на $ \cos^2 \alpha $.
Ответ: $ \cos^2 \alpha $

б) Рассмотрим выражение $ 1 - \cos^2 \alpha $. Аналогично предыдущему пункту, из основного тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ выразим $ \sin^2 \alpha $, перенеся $ \cos^2 \alpha $ в правую часть: $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $. Следовательно, исходное выражение равно $ \sin^2 \alpha $.
Ответ: $ \sin^2 \alpha $

в) Рассмотрим выражение $ \sin^2 \alpha - 1 $. Можно заметить, что это выражение отличается от $ 1 - \sin^2 \alpha $ только знаком. Вынесем минус за скобки: $ \sin^2 \alpha - 1 = -(1 - \sin^2 \alpha) $. Как мы уже выяснили в пункте а), выражение в скобках равно $ \cos^2 \alpha $. Значит, $ \sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha $.
Ответ: $ -\cos^2 \alpha $

г) Рассмотрим выражение $ \cos^2 \alpha - 1 $. Это выражение также отличается знаком от выражения из пункта б). Вынесем минус за скобки: $ \cos^2 \alpha - 1 = -(1 - \cos^2 \alpha) $. Как было показано в пункте б), выражение в скобках равно $ \sin^2 \alpha $. Таким образом, $ \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha $.
Ответ: $ -\sin^2 \alpha $