Номер 7.50, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.50, страница 214.

Условие.

7.50 Запишите основные формулы для $sin \alpha$ и $cos \alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Основное тригонометрическое тождество
Это фундаментальное соотношение, связывающее синус и косинус одного и того же угла. Оно следует из теоремы Пифагора для единичной окружности.
$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $
Из этого тождества можно выразить одну функцию через другую (знак «±» зависит от четверти, в которой находится угол $ \alpha $):
$ \sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} $
$ \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $
Ответ: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Определения в прямоугольном треугольнике
Для острого угла $ \alpha $ в прямоугольном треугольнике синус и косинус определяются как отношения длин сторон:
- Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Если $ a $ – противолежащий катет, $ b $ – прилежащий катет, а $ c $ – гипотенуза, то:
$ \sin \alpha = \frac{a}{c} $
$ \cos \alpha = \frac{b}{c} $
Ответ: $ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $, $ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $.

Четность и периодичность
Функция синус является нечетной, а функция косинус – четной. Обе функции являются периодическими с основным периодом $ 2\pi $.
$ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $ (нечетная функция)
$ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $ (четная функция)
$ \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha, \quad k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $, $ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $; $ \sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha $, $ \cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha $.

Формулы сложения и вычитания углов
Эти формулы позволяют найти синус или косинус суммы или разности двух углов.
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $
$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $
$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $
Ответ:
$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $
$ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta $

Формулы двойного угла
Являются частным случаем формул сложения, когда $ \beta = \alpha $.
$ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
$ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $
Используя основное тригонометрическое тождество, формулу для косинуса двойного угла можно записать еще в двух видах:
$ \cos(2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1 $
$ \cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha $
Ответ:
$ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $
$ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha $

Формулы понижения степени (или половинного угла)
Эти формулы выводятся из формул косинуса двойного угла и позволяют понизить степень тригонометрической функции.
$ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $
$ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $
Если заменить $ \alpha $ на $ \frac{\alpha}{2} $, получатся формулы половинного угла:
$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} $
$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $
Ответ: $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $; $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.

Формулы преобразования суммы в произведение
Позволяют преобразовать сумму или разность синусов/косинусов в произведение.
$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $
$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $
Ответ:
$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $
$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $
$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $

Формулы преобразования произведения в сумму
Позволяют преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность.
$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $
$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $
$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $
Ответ:
$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $
$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $
$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $

Универсальная тригонометрическая подстановка
Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла (где $ t = \tan \frac{\alpha}{2} $).
$ \sin \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{2t}{1+t^2} $
$ \cos \alpha = \frac{1 - \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2} $
Ответ: $ \sin \alpha = \frac{2t}{1+t^2} $, $ \cos \alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2} $, где $ t = \tan \frac{\alpha}{2} $.

Формулы приведения
Эти формулы позволяют упростить тригонометрические выражения, сводя их к функциям угла из первой четверти. Общее мнемоническое правило:
1. Правило функции: Если в формуле угол имеет вид $ \frac{\pi}{2} \pm \alpha $ или $ \frac{3\pi}{2} \pm \alpha $, то название функции меняется на "кофункцию" ($ \sin \leftrightarrow \cos $). Если угол имеет вид $ \pi \pm \alpha $ или $ 2\pi \pm \alpha $, название функции сохраняется.
2. Правило знака: Знак перед полученной функцией совпадает со знаком исходной функции, если считать угол $ \alpha $ острым.
Примеры:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha $
$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $
$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha $
$ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha $
Ответ: Формулы приведения определяются правилами смены функции (на кофункцию для углов $ \frac{\pi}{2} \pm \alpha, \frac{3\pi}{2} \pm \alpha $) и знака (по четверти исходного угла).