Номер 7.53, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.53, страница 214.

7.53 Может ли косинус угла быть равным:

а) $- \frac{21}{37};$

б) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1};$

в) $\frac{1}{\sin \frac{\pi}{6}};$

г) $\frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{6}}?$

Косинус любого угла — это значение, которое находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно. То есть, для любого угла $\alpha$ справедливо неравенство $-1 \le \cos\alpha \le 1$. Для решения задачи проверим, принадлежит ли каждое из предложенных значений этому отрезку.

а) Рассмотрим число $-\frac{21}{37}$. Так как числитель $21$ меньше знаменателя $37$, то модуль этого числа $|\,-\frac{21}{37}| = \frac{21}{37} < 1$. Следовательно, значение $-\frac{21}{37}$ находится в отрезке $[-1, 1]$.
Ответ: Да, может.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$. Так как $\sqrt{3} > \sqrt{2}$ и $\sqrt{2} > 1$, то числитель и знаменатель положительны, а значит, и вся дробь положительна. Сравним ее с $1$. Неравенство $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} < 1$ равносильно неравенству $\sqrt{3}-\sqrt{2} < \sqrt{2}-1$, или $\sqrt{3}+1 < 2\sqrt{2}$. Так как обе части положительны, возведем их в квадрат: $(\sqrt{3}+1)^2 < (2\sqrt{2})^2$, что дает $3+2\sqrt{3}+1 < 8$, или $4+2\sqrt{3} < 8$. Это упрощается до $2\sqrt{3} < 4$, или $\sqrt{3} < 2$. Последнее неравенство верно, так как $3 < 4$. Следовательно, $0 < \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} < 1$, и это значение может быть косинусом угла.
Ответ: Да, может.

в) Рассмотрим выражение $\frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}}$. Значение синуса угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$. Тогда выражение равно $\frac{1}{1/2} = 2$. Число $2$ больше $1$, поэтому оно не может быть значением косинуса.
Ответ: Нет, не может.

г) Рассмотрим выражение $\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{6}}$. Используя табличные значения $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$. Число $1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, это максимально возможное значение косинуса.
Ответ: Да, может.