Номер 7.55, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.55, страница 214.

Условие.

7.55 Вычислите $\cos \alpha$, если:

a) $\sin \alpha = 0,8, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

б) $\sin \alpha = -0,6, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления значения $\cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Из этого тождества следует, что $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим известное значение $\sin\alpha = 0,8$:
$\cos^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Следовательно, $\cos\alpha$ может быть равен $\sqrt{0,36}$ или $-\sqrt{0,36}$, то есть $\cos\alpha = \pm 0,6$.
Чтобы определить знак, обратимся к условию, что угол $\alpha$ находится в промежутке $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Этот промежуток соответствует II координатной четверти. Во второй четверти косинус имеет отрицательное значение.
Таким образом, выбираем отрицательное значение: $\cos\alpha = -0,6$.
Ответ: -0,6

б) Аналогично предыдущему пункту, используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$.
Подставим известное значение $\sin\alpha = -0,6$:
$\cos^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Следовательно, $\cos\alpha = \pm\sqrt{0,64}$, то есть $\cos\alpha = \pm 0,8$.
Знак косинуса определим по заданному промежутку для угла $\alpha$: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот промежуток соответствует IV координатной четверти. В четвертой четверти косинус имеет положительное значение.
Поэтому выбираем положительное значение: $\cos\alpha = 0,8$.
Ответ: 0,8