Номер 7.52, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.4. Основные формулы для sinα и cosα - номер 7.52, страница 214.

Условие.

7.52 a) $sin \alpha = -\sqrt{3}$;

б) $cos \alpha = \sqrt{3} - 1$;

В) $sin \alpha = \frac{\pi}{2}$;

Г) $sin \alpha = -\frac{\sqrt{11}}{3}$;

Д) $cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$;

е) $cos \alpha = -\frac{\pi}{3}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы равенство $\sin \alpha = a$ имело решение, значение $a$ должно принадлежать области значений функции синус, то есть $a \in [-1; 1]$.
В данном случае $a = -\sqrt{3}$. Оценим его значение: $\sqrt{3} \approx 1.732$, значит $-\sqrt{3} \approx -1.732$.
Так как $-1.732 < -1$, значение $-\sqrt{3}$ не входит в отрезок $[-1; 1]$.
Ответ: нет, такое равенство невозможно.

б) Чтобы равенство $\cos \alpha = a$ имело решение, значение $a$ должно принадлежать области значений функции косинус, то есть $a \in [-1; 1]$.
В данном случае $a = \sqrt{3} - 1$. Оценим его значение: $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Тогда $\sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$.
Так как $-1 \le 0.732 \le 1$, значение $\sqrt{3} - 1$ входит в отрезок $[-1; 1]$.
Ответ: да, такое равенство возможно.

в) Проверим, принадлежит ли значение $\frac{\pi}{2}$ отрезку $[-1; 1]$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
Тогда $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$.
Так как $1.57 > 1$, значение $\frac{\pi}{2}$ не входит в область значений функции синус.
Ответ: нет, такое равенство невозможно.

г) Проверим, принадлежит ли значение $-\frac{\sqrt{11}}{3}$ отрезку $[-1; 1]$.
Для этого сравним модуль этого числа, $\frac{\sqrt{11}}{3}$, с числом $1$.
Это эквивалентно сравнению $\sqrt{11}$ и $3$.
Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{11})^2 = 11$ и $3^2 = 9$.
Поскольку $11 > 9$, то $\sqrt{11} > 3$, и, следовательно, $\frac{\sqrt{11}}{3} > 1$.
Это означает, что $-\frac{\sqrt{11}}{3} < -1$. Данное значение не входит в область значений функции синус.
Ответ: нет, такое равенство невозможно.

д) Проверим, принадлежит ли значение $\frac{\sqrt{7}}{3}$ отрезку $[-1; 1]$.
Сравним $\frac{\sqrt{7}}{3}$ с $1$. Это эквивалентно сравнению $\sqrt{7}$ и $3$.
Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{7})^2 = 7$ и $3^2 = 9$.
Поскольку $7 < 9$, то $\sqrt{7} < 3$, и, следовательно, $0 < \frac{\sqrt{7}}{3} < 1$.
Значение $\frac{\sqrt{7}}{3}$ входит в отрезок $[-1; 1]$.
Ответ: да, такое равенство возможно.

е) Проверим, принадлежит ли значение $-\frac{\pi}{3}$ отрезку $[-1; 1]$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
Тогда $-\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3.14159}{3} \approx -1.047$.
Так как $-1.047 < -1$, значение $-\frac{\pi}{3}$ не входит в область значений функции косинус.
Ответ: нет, такое равенство невозможно.